Измерение спина и спиновая функция

[OlegML]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693677 писал(а):

"C любым, да не с любым". В этой формуле для коммутатора подразумевается, что $a_l$ это проекции векторного оператора $\hat{\mathbf{a}}.$ Для того чтобы не возникало путаницы с неоператорными величинами, желательно писать шляпку над символами операторов (и матриц).

Ну да. Подразумевается не постоянный вектор. И действительно вектор может содержать и дифференциальные операторы. Но, тем не менее, если компоненты вектора являются просто функцией переменных, то мои выкладки верны (наверно) и получаем $j_ia_k=(l_i+s_i)a_k=0$ что не должно быть верно.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693677 писал(а):

в квантовую теорию не въехать.

Ну с этим проще, в классической квантовой теории я не новичок.

[Cos(x-pi/2)]

OlegML

Да, Ваша формула $[\hat{l}_i,a_k]=(\hat{l}_ia_k)$ верна для функций $a_k.$ В этой формуле правая сторона $(\hat{l}_ia_k)$ есть результат действия оператора $\hat{l}_i$ на функцию $a_k,$ т.е. это какая-то новая функция (или ноль, если $a_k=\operatorname{const}).$ Но тогда для произвольных функций $a_k$ получается, например,

$[\hat{l}_x,a_y]=(-i)(y\frac{\partial a_y}{\partial z}-z \frac{\partial a_y}{\partial y})$

и видно, что эта новая функция в общем случае не равна $ia_z,$ как требует в ЛЛ коммутационная формула $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l.$

Поэтому приравнивать $[\hat{l}_i,a_k]=(\hat{l}_ia_k)$ к $(-\hat{s}_ia_k) $ при любых функциях $a_k$ нельзя.

Из этого следует, что брать здесь любые функции $a_k,$ на роль операторов $\hat{a}_k$ будет смысловой ошибкой: получается совсем не тот контекст, который подразумевается в ЛЛ и который нужен там для дальнейших выводов. (Соглашусь с Вами только в том, что в ЛЛ многое написано слишком кратко и потому невнятно.)

Если взять здесь в роли $\hat{\mathbf{a}}$ оператор координат $\hat{\mathbf{r}},$ т.е. взять функции специального вида $a_x=x,\,a_y=y,\, a_z=z,$ то для них получается то, что надо: $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l.$

То, что надо, получается также, если на роль векторного оператора $\hat{\mathbf{a}} $ взять оператор импульса $\hat{\mathbf{p}}=-i\nabla$ или оператор орбитального момента $\hat{\mathbf{l}}=-i[\mathbf{r}\times\nabla]$ (здесь $\mathbf{l}$ это маленькая жирная буква "эль", но она, к сожалению, похожа на большую "и"). Ваша формула $[\hat{l}_i,a_k]=(\hat{l}_ia_k)$ неверна для таких операторов.

Любая функция $\Phi(r),$ зависящая только от $r=|\mathbf{r}|,$ но не от углов, для оператора орбитального момента равноценна константе: $\hat{l}_i\Phi(r)=0.$ Поэтому коммутационное равенство $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l$ выполняется также для тех операторов $\hat{\mathbf{a}},$ которые имеют вид перечисленных выше векторных операторов (уже заведомо подчиняющихся этому равенству), дополнительно умноженных на произвольную функцию от $r,$ т.е.:

$$\Phi(r)\,\hat{\mathbf{r}}\,,\quad \Phi(r)\,\nabla\,,\quad \Phi(r)\,[\mathbf{r} \times \nabla]\,.$$

Вот это и подразумевается в ЛЛ-4 в § 6 и 7. С тем только отличием, что там всё пишется в импульсном представлении, т.е. всюду $\mathbf{r}$ заменяется на $\mathbf{k}.$

[OlegML]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693748 писал(а):

видно, что эта новая функция в общем случае не равна $ia_z,$ как требует в ЛЛ коммутационная формула $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l.$

Поэтому приравнивать $[\hat{l}_i,a_k]=(\hat{l}_ia_k)$ к $(-\hat{s}_ia_k) $ при любых функциях $a_k$ нельзя.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693748 писал(а):

Из этого следует, что брать здесь любые функции $a_k,$ на роль операторов $\hat{a}_k$ будет смысловой ошибкой:

Я правильно понял, что формула (29.4) в ЛЛт3 (стр 122) не всегда верна? И рассуждения перед ней тоже ошибочны?

[amon]

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

$s_ia_k=-ie_{ikl}a_l$ - действие проекции оператора спина на любой вектор.

Откуда Вы это взяли? Если из задачи 2 к параграфу 57 ЛЛ-3, то она о другом. В ней рассматривается действие оператора спина на состояние со спином единица, а не произведение операторов, как в (29.4). Вы операторы и пространства, в которых они действуют различаете?

[OlegML]

amon в сообщении #1693803 писал(а):

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

$s_ia_k=-ie_{ikl}a_l$ - действие проекции оператора спина на любой вектор.

Откуда Вы это взяли? Если из задачи 2 к параграфу 57 ЛЛ-3, то она о другом. В ней рассматривается действие оператора спина на состояние со спином единица, а не произведение операторов, как в (29.4). Вы операторы и пространства, в которых они действуют различаете?

Обе формулы это равенства, они выполняются не зависимо от того о чем они. Конечно Вы правы в задаче 2 к параграфу 57 ЛЛ-3 рассматривается действие оператора спина на состояние со спином единица, а в (29.4) дается результат коммутации орбитального момента с векторным оператором. Но если векторный оператор является просто векторной функцией результат коммутации можно найти просто подействовав на эту функцию. В частности таким образом получаем действие орбитального момента на состояние со спином единица.
PS Любая функция является также оператором, действием которого является умножение на эту функцию.

[amon]

OlegML в сообщении #1693818 писал(а):

Любая функция является также оператором, действием которого является умножение на эту функцию.

Ну, вы даете! Если Вы считаете, что вектор (столбец чисел) и оператор (квадратная матрица) это одно и тоже, то я пас.

[Cos(x-pi/2)]

OlegML

OlegML в сообщении #1693755 писал(а):

Я правильно понял, что формула (29.4) в ЛЛт3 (стр 122) не всегда верна? И рассуждения перед ней тоже ошибочны?

Вы неправильно поняли. Формула $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l$ всегда верна для векторных операторов, но не любую пришедшую в голову конструкцию, векторную по своей форме (функции, матрицы, дифференциальные операции, что угодно ещё), в квантовой механике принято называть векторным оператором.

В тексте к формуле (29.4) в ЛЛ-3 нет ошибок, там по сути дела даётся определение понятию "векторный оператор, действующий в пространстве орбитальных волновых функций": это именно такой оператор $\hat{\mathbf{a}}, $ компоненты которого подчиняются равенству (29.4).

(В том тексте говорится об обобщении на систему частиц, и вместо $\hat{l}_i$ написан оператор суммарного по частицам орбитального момента $\hat{L}_i,$ но здесь такое обобщение для нас не является принципиальным.)

Обоснование такому определению векторного оператора в том тексте дано в виде ссылки на формулу (26.4) из §26, где перечислены примеры векторных операторов (и я тоже постарался выше их перечислить). Кроме того, в начале текста перед (29.4) есть очень важные слова: там сказано, что речь идёт о "векторной физической величине, характеризующей замкнутую систему".

Тем самым подразумевается векторная величина, характеризующая состояние системы $|\psi\rangle,$ а не любое внешнее векторное поле $a_k(x,y,z),$ заданное безотносительно к состоянию системы.


И как раз именно указанный контекст выявляется, если мы рассмотрим происхождение коммутационного равенства $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l$ в общем виде. У меня было желание написать в дальнейшем об этом подробно, но раз это место оказалось "непреодолимым" сейчас, то вот моё пояснение вкратце:

Обозначим как $\hat{R}$ оператор поворота, действующий на скалярные волновые функции $\psi(\mathbf{r})$ частицы. Речь веду об активном повороте на любой угол $\alpha$ вокруг оси с любым направлением, заданным единичным вектором $\mathbf{e}:$

$$\hat{R}=e^{-i \pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}}$$

где $\pmb{\alpha}=\alpha\,\mathbf{e},$ жирная маленькая "эль" $\hat{\mathbf{l}}$ это векторный оператор орбитального момента. Оператор бесконечно малого поворота в низшем порядке малости по $\alpha$:

$$\hat{R}=1-i\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}}\,,\quad \alpha\to 0$$

Оператор $\hat{\mathbf{a}}$ по определению называем векторным, если его среднее по любому состоянию частицы $|\psi\rangle$ при повороте этого состояния поворачивается в соответствии с известным из курса геометрии законом преобразования вектора. Т.е. усреднённый вектор $\mathbf{a}=\langle \psi|\hat{\mathbf{a}}|\psi\rangle$ при замене $|\psi\rangle$ на $\hat{R}|\psi\rangle$ должен повернуться на угол $\alpha$ вокруг оси $\mathbf{e}.$

Вот это и есть основная идея, определяющая понятие векторной физической величины в квантовой механике: вектор $\mathbf{a}=\langle \psi|\hat{\mathbf{a}}|\psi\rangle$ должен характеризовать состояние частицы, и поэтому должен повернуться при повороте состояния вместе с этим состоянием - на тот же угол вокруг той же оси.

Далее речь идёт о бесконечно малых поворотах. В этом случае повёрнутый вектор $\mathbf{a}$ в низшем порядке малости по $\alpha,$ как известно из курса геометрии, должен быть равен $\mathbf{a} + \pmb{\alpha}\times\mathbf{a}.$ Это можно записать так:

$$\langle\hat{R}\psi |\hat{\mathbf{a}}|\hat{R}\psi\rangle = \langle \psi |(\hat{\mathbf{a}} + \pmb{\alpha}\times\hat{\mathbf{a}})|\psi \rangle\,. $$

В левой стороне учтём, что

$$\langle\hat{R}\psi|\hat{\mathbf{a}}|\hat{R}\psi\rangle = \langle\psi |\hat{R}^+\hat{\mathbf{a}}\hat{R}|\psi\rangle\,,$$

подставим

$$\hat{R}^+ = (1+i\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}})\,,\quad \hat{R} = (1-i\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}})\,,$$

и раскроем скобки, удерживая члены не выше первого порядка по $\alpha.$ Поскольку полученное равенство верно при любом $|\psi\rangle,$ то можем "снять обкладки" $\langle\psi|...|\psi\rangle.$ Тем самым приходим к операторному равенству:

$$i\,[(\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}}),\,\hat{\mathbf{a}}]=\pmb{\alpha}\times\hat{\mathbf{a}}\,.$$

Его запись в компонентах (по повторяющемуся индексу суммируем):

$$i\,[\alpha_i\hat{l}_i,\, \hat{a}_k]=e_{kil}\,\alpha_i\,\hat{a}_l\,.$$

Здесь $\alpha_i$ это компоненты вектора $\alpha\mathbf{e},$ они являются независимыми переменными, поэтому сравнивая выражения при них в левой и правой стороне, получаем $i\,[\hat{l}_i,\,\hat{a}_k]=e_{kil}\,\hat{a}_l\,,$ т.е.

$$[\hat{l}_i,\, \hat{a}_k]=i\,e_{ikl}\,\hat{a}_l $$

Таково происхождение этого коммутационного равенства.

Понятно, почему, например, для какого-нибудь постоянного вектора $\mathbf{b}=\operatorname{const}$ это коммутационное равенство не выполняется. Ведь хотя мы можем считать такой вектор оператором умножения, но его "среднее" не поворачивается вместе с состоянием:

$$\langle \hat{R}\psi |\mathbf{b}|\hat{R}\psi \rangle =\mathbf{b}\langle \hat{R}\psi |\hat{R}\psi \rangle = \mathbf{b}$$

$$\langle \psi |\mathbf{b}|\psi \rangle =\mathbf{b}\langle \psi |\psi \rangle = \mathbf{b}$$

Т.е. этот вектор очевидным образом определён вне всякой зависимости от состояния системы и поэтому он не подпадает под определение "векторной физической величины, характеризующей систему". Аналогично и направление среднего для какого-нибудь заданного векторного поля $\mathbf{a}(\mathbf{r})\neq \mathbf{r}$ зависит не только от $|\psi\rangle,$ но и от каких-нибудь параметров этого поля, не относящихся к $|\psi\rangle,$ и поэтому $\langle \psi |\mathbf{a}(\mathbf{r})|\psi \rangle$ преобразуется при поворотах $|\psi\rangle$ не так, как того требует определение векторной величины.

А, например, $\langle \psi |\hat{\mathbf{r}}|\psi \rangle$ характеризует среднее значение координат "облака вероятности" в состоянии $|\psi\rangle,$ и уже из этого факта очевидно, что при поворотах "облака вероятности" его усреднённый радиус-вектор $\langle \psi |\hat{\mathbf{r}}|\psi \rangle$ преобразуется именно так, как положено вектору. И действительно: для оператора $\hat{\mathbf{r}}$ коммутационное равенство $[\hat{l}_i,\hat{x}_k]=ie_{ikl}\hat{x}_l$ выполняется, так что он в смысле такого определения имеет полное право называться векторной величиной, характеризующей состояние частицы, (и служит образцом поведения остальным операторам, которые желают называться векторными :)

[OlegML]

amon в сообщении #1693820 писал(а):

OlegML в сообщении #1693818 писал(а):

Любая функция является также оператором, действием которого является умножение на эту функцию.

Ну, вы даете! Если Вы считаете, что вектор (столбец чисел) и оператор (квадратная матрица) это одно и тоже, то я пас.

Неожиданно, это казалось очевидным. Порассуждаем.
Пусть оператор $\hat{A}$ переводит функцию $\Psi$ в $\varphi$:
$\hat{A}\Psi=\varphi$.
Исходную и конечную функции можно разложить по ортогональному базисному набору $|b>$, так что $\Psi=\Sigma C_i|b_i>$ и $\varphi=\Sigma G_i|b_i>$ (C и G - коэффициенты):
$\Sigma C_i\hat{A}|b_i> =\Sigma G_i|b_i>$.
Умножаем слева на $<b_j|$ (интегрируем):
$\Sigma <b_j|\hat{A}|b_i>C_i=\Sigma A_{ji}C_i=G_j$.
Таким образом действие любого оператора сводится к матричному уравнению. Если оператор является просто функцией координат, то все равно:
$A_{ji}=\int{b_j^*Ab_i}$.
С другой стороны операторы выражаются через известные операторы, например координаты и импульсы. В случае нелинейной зависимости подразумевается представление в виде степенного ряда, например
$e^{\hat{A}} =\Sigma \frac{1}{n!}\hat{A}^n$.
Оператор - функцию, т.е. оператор, зависящий только от координат в общем случае также представляется в виде ряда:
$\hat{F}(\hat{x})=\Sigma C_i\hat{x}^i$.
Действие на любую функцию будет простым:
$\hat{F}(\hat{x})\Psi=\Sigma C_i(\hat{x}^i\Psi)=\Sigma C_ix^i\Psi=F(x)\Psi$.

[Cos(x-pi/2)]

Уточнение к пояснению в моём предыдущем сообщении. Вообще, чтобы имело место операторное равенство $\hat{A}=\hat{B}$ недостаточно равенства $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle,$ а надо чтобы выполнялось равенство $\langle\varphi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle\varphi|\hat{B}|\psi\rangle$ (при любых $|\varphi\rangle$ и $|\psi\rangle$ из рассматриваемого пространства состояний). Достаточно в роли "обкладок" $|\varphi\rangle$ и $|\psi\rangle$ перебрать все базисные состояния; т.е. для равенства операторов требуется равенство всех их матричных элементов, а не только диагональных.

Поэтому в определении векторного оператора после физически наглядного соображения о том, что среднее векторной величины $\langle \psi|\hat{\mathbf{a}}|\psi\rangle$ по любому состоянию $|\psi\rangle$ должно после инфинитезимального поворота состояния переходить в вектор

$$\langle\hat{R}\psi |\hat{\mathbf{a}}|\hat{R}\psi\rangle = \langle \psi |(\hat{\mathbf{a}} + \pmb{\alpha}\times\hat{\mathbf{a}})|\psi \rangle $$

нужно требовать выполнения аналогичного равенства для всех матричных элементов векторного оператора, т.е. в этой формуле надо заменить $\langle \psi|$ на $\langle \varphi|:$

$$\langle\hat{R}\varphi |\hat{\mathbf{a}}|\hat{R}\psi\rangle = \langle \varphi |(\hat{\mathbf{a}} + \pmb{\alpha}\times\hat{\mathbf{a}})|\psi \rangle $$

В итоге снимаем обкладки $\langle\varphi|...|\psi\rangle$ и получается то самое коммутационное соотношение, определяющее оператор векторной физической величины.

[amon]

OlegML в сообщении #1693869 писал(а):

Пусть оператор $\hat{A}$ переводит функцию $\Psi$ в $\varphi$:
$\hat{A}\Psi=\varphi$.

При этом, сами функции для ненулевого спина являются спинорами, т.е. столбиками с $2s+1$ компонентами $\Psi_\alpha(x)$. То есть, $ A_{ji}$ это матрица а $C_i$ - столбец по спиновым значкам.

В задачке из ЛЛ-3 рассматривается действие оператора спина на вектор состояния со спином 1 (столбец из трех компонент). Такие вектора не образуют базиса в пространстве всех состояний, и то, как на них действует оператор спина не позволяет сказать как спин будет коммутировать с произвольным векторным оператором. Что такое векторный оператор с возможной дотошностью объяснил уважаемый Cos(x-pi/2).

[Cos(x-pi/2)]

OlegML

Кстати, если придерживаться Ваших воззрений на любые векторные и скалярные функции как на операторы, то может возникнуть проблема и с пониманием термина "скалярный оператор", о котором написано в ЛЛ-3. Ведь предполагая, что функция $F(x),$ о которой Вы пишете

OlegML в сообщении #1693869 писал(а):

Действие на любую функцию будет простым:
$\hat{F}(\hat{x})\Psi=\Sigma C_i(\hat{x}^i\Psi)=\Sigma C_ix^i\Psi=F(x)\Psi$

в то же время является скалярным оператором в смысле, указанном в ЛЛ-3, получим противоречие уже с самой первой формулой §29 в ЛЛ-3. Там сказано, что скалярный оператор должен коммутировать с оператором орбитального момента. Т.е., если считать функцию $F(x)$ скалярным оператором $\hat{F},$ то согласно (29,1) должно быть

$$[\hat{l}_i, \hat{F}]=0$$

Но ведь для любой отличной от константы функции $F(x)$ получается

$$ [\hat{l}_y, F]= (\hat{l}_yF) = -iz\frac{\partial F}{\partial x}\neq 0 $$

(так что, предположив, будто любая функция это скалярный оператор, обязанный согласно ЛЛ подчиняться равенству (29,1), Вы могли бы сказать: "в ЛЛ-3 даже в самом начале §29 есть ошибка!" :)

На самом деле условием $[\hat{l}_i, \hat{F}]=0$ скалярный оператор определяется, и в конкретных задачах выявляется. Легко проследить происхождение этого коммутатора так же, как коммутатора для векторного оператора. Наглядная картина: среднее значение скалярной величины, характеризующей состояние $|\psi\rangle,$ не должно изменяться при поворотах состояния, т.е. $\langle \hat{R}\psi |\hat{F}|\hat{R}\psi\rangle=\langle\psi|\hat{F} |\psi\rangle.$ И не только среднее, а все матричные элементы скалярного оператора должны быть инвариантны к любому повороту состояний:

$$\langle \hat{R}\varphi |\hat{F}|\hat{R}\psi\rangle=\langle\varphi |\hat{F}|\psi\rangle$$

Из этого равенства дальнейшие выкладки, почти такие же, как при выводе коммутатора для векторного оператора (только теперь в правой стороне будет нуль вместо формулы изменения вектора $\pmb{\alpha}\times\hat{\mathbf{a}}),$ ведут к равенству $[\hat{l}_i, \hat{F}]=0.$

Простой хорошо известный пример: проверяется, что гамильтониан $\hat{H}_0 = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}$ свободной частицы коммутативен с $\hat{l}_i$ и, значит, это скалярный оператор. Если прибавить к $\hat{H}_0$ потенциальную энергию $U(r),$ где $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ то и $\hat{H}=\hat{H}_0+U$ коммутирует с $\hat{l}_i.$ Т.е. сферически симметричный потенциал $U(r)$ как оператор умножения является скалярным оператором.

Но если потенциал $U(x,y,z)\neq U(r),$ не инвариантен к любым поворотам, то $\hat{H}$ не коммутирует с некоторыми или со всеми тремя опраторами проекций орбитального момента $\hat{l}_i.$ В этом смысле такие $U(x,y,z)$ и $\hat{H}$ не считаются скалярными операторами. Хотя мы и привыкли обычно говорить, что энергия в отличие, например, от импульса или момента импульса это скалярная величина, здесь речь идёт о другом аспекте: энергетические уровни состояний, различающихся только своей ориентацией в анизотропном потенциале, различаются (а в сферически симметричном потенциале - совпадают).

[OlegML]

Прошу извинить за отсутствие, только сейчас нашел время вернуться к вопросу.

amon в сообщении #1693917 писал(а):

Такие вектора не образуют базиса в пространстве всех состояний, и то, как на них действует оператор спина не позволяет сказать как спин будет коммутировать с произвольным векторным оператором.

Ну да, вроде так. Однако в ЛЛIV в начале стр.36 (&7) пишут: "воздействие этого оператора (оператора спина) на векторную функцию как раз определяется равенством $\hat{s}_ia_k=-ie_{ikl}a_l$; см. III &57, задача 2". Имеется ввиду произвольная векторная функция, зависящая от спиновых переменных. Подозреваю это можно доказать. Допустим это так. Для этого же вектора $\vec{a}$ выполняется $[l_ia_k]=ie_{ikl}a_l$, т.е. тот же векторный оператор зависит и от переменных ориентации (углов Эйлера). В частности этот оператор может быть векторной функцией углов Эйлера. Тогда имеем $[l_ia_k]=l_ia_k$ и $(l_i+s_i)a_k=0$, что похоже неверно.
Вопрос остается открытым. Где ошибка?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693854 писал(а):

Понятно, почему, например, для какого-нибудь постоянного вектора $\mathbf{b}=\operatorname{const}$ это коммутационное равенство не выполняется.

Конечно в обсуждаемом равенстве имеются ввиду вектора, вращающиеся вместе с системой и зависящие от переменных ориентации.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1693951 писал(а):

(так что, предположив, будто любая функция это скалярный оператор, обязанный согласно ЛЛ подчиняться равенству (29,1), Вы могли бы сказать: "в ЛЛ-3 даже в самом начале §29 есть ошибка!" :)

По моему ничего подобного я не утверждал. Под функцией я понимал какую либо компоненту векторной функции $\vec{a}$. Коммутатор оператора $l_i$ с этой компонентой или его действие на нее дает другую функцию, которая с точностью до знака оказывается произведением мнимой единицы на другую компоненту. Действие $l_i$ на скалярную функцию (т.е. число, зависящее исключительно от внутренних координат) конечно равно 0.

[Cos(x-pi/2)]

OlegML в сообщении #1694962 писал(а):

Действие $l_i$ на скалярную функцию (т.е. число, зависящее исключительно от внутренних координат) конечно равно 0.

Что такое "внутренние координаты"? В ЛЛ идёт речь об операторах $\hat{l}_i,$ действующих на функции от $x,y,z.$ Например, подействуйте оператором $\hat{l}_y$ на функцию $F(x,y,z)=x^2e^{-r};$ получается не ноль.

OlegML в сообщении #1694962 писал(а):

Тогда имеем $[l_ia_k]=l_ia_k$ и $(l_i+s_i)a_k=0$, что похоже неверно.
Вопрос остается открытым. Где ошибка?

Так ведь уже подробно объяснено выше. Равенство $[l_i,a_k]=ie_{ikl}a_l$ применимо не к какой попало векторной функции. Это равенство играет роль признака, по которому векторную функцию переменных $x,y,z$ или какой-либо оператор $\hat{a}_k,$ действующий на функции переменных $x,y,z,$ называют векторным оператором.

То есть, Ландау и Лифшиц называют векторными операторами только те операторы $\hat{a}_k,$ для которых равенство $[\hat{l}_i,\hat{a}_k]=ie_{ikl}\hat{a}_l$ заведомо выполняется. Когда оно выполняется, только тогда и можно его приравнять к $ie_{ikl}\hat{a}_l=-\hat{s}_i\hat{a}_k$ (где, кстати сказать, $\hat{s}_i$ - не для какого попало спина оператор, а именно для спина $s=1.$ Проще говоря, $\hat{s}_i$ это матрицы формата 3х3 с числовыми элементами, которые просто переставляют местами компоненты векторного оператора $\hat{\mathbf{a}}$ и домножают их на $\pm i.)$

Вы же берёте случай не векторного оператора в смысле ЛЛ, если считаете $a_k$ произвальными функциями. Вы берёте выражение $[l_i,a_k]=l_ia_k,$ которое при $\mathbf{a}\neq\mathbf{r}\Phi(r)$ с очевидностью не равно выражению $ie_{ikl}a_l,$ и не взирая на этот факт приравниваете к $ie_{ikl}a_l=-\hat{s}_ia_k.$ Вот из этого ошибочного приравнивания Вы и получаете своё равенство $(l_i+s_i)a_k=0,$ заведомо неверное при $\mathbf{a}\neq\mathbf{r}\Phi(r).$

Добавил:
(P.S. равенство $(l_i+s_i)a_k=0$ будет верным, если $\mathbf{a}=\mathbf{r}\Phi(r).$ Этот случай применим для описания системы со спином $s=1$ и при этом с полным моментом, равным нулю: $j=0.$ Ниже в отдельном сообщении я постараюсь подробнее написать об этом случае на примере векторного поля.)


Кроме того, у Вас в рассуждениях присутствуют, на мой взгляд, неясные понятия, мешающие пониманию: какие-то "внутренние переменные", "переменные ориентации". И часто упоминамые Вами "углы Эйлера" здесь не нужны. Будут нужны углы $\vartheta, \varphi$ радиус-вектора в сферической системе координат.

Всё нужное для чтения начала ЛЛ-4 легко выводится просто из того, что компоненты векторного поля в координатном представлении $\mathbf{A}(\mathbf{r}),$ то есть три функции

$$A_x(x,y,z),\,\,A_y(x,y,z),\,\,A_z(x,y,z)$$

это функции обычных декартовых координат $x,y,z.$ Cпиновым индексом, принимающим три значения, служат просто номера этих трёх компонент, т.е. значки $x,y,z$ около буквы $A.$

Вместо аргументов $x,y,z$ можно ввести в дело сферические координаты $r,\vartheta,\varphi$ и разлагать все функции по $Y_{l,m}(\vartheta,\varphi).$

Аналогично и в импульсном представлении векторное поле описывается своими векторными фурье-коэффициентными функциями $\mathbf{A}(\mathbf{k}),$ т.е. тремя функциями

$$A_x(k_x,k_y,k_z),\,\,A_y(k_x,k_y,k_z),\,\,A_z(k_x,k_y,k_z)$$

Вместо $k_x,k_y,k_z$ можно ввести в дело сферические координаты $|\mathbf{k}|,\vartheta, \varphi$ в $\mathbf{k}$-пространстве.

При этом векторное поле $\mathbf{A}$ не выступает в роли "векторного оператора". Векторными операторами $\hat{\mathbf{a}},$ нужными для построения шаровых векторов

$$\mathbf{Y}_{j,m}(\vartheta,\varphi)=\hat{\mathbf{a}}\,Y_{l,m}(\vartheta,\varphi)\quad\text{где}\quad l=j$$

(по шаровым векторам затем разлагается поле $\mathbf{A}(\mathbf{k})),$ служат

$$\mathbf{k}/|\mathbf{k}|,\quad |\mathbf{k}|\nabla,\quad\mathbf{k}\times\nabla$$

где $\nabla$ дифференцирует функции, зависящие от $\mathbf{k}.$ При желании всё это можно разобрать подробнее, в том числе на примерах (люблю всё разбирать "от печки" и на примерах - только тогда появляется ясность :)

[Cos(x-pi/2)]

(Пример с j=0)

Рассказ "от печки" мне следовало бы начать с подробного описания, что такое оператор поворота $\hat{R}.$ Может быть, к таким деталям и вернусь, если потребуется, а пока излагаю основные соображения насколько могу кратко.

Пусть $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ - произвольное векторное поле. Повернём его всё целиком (на какой-то угол $\alpha$ вокруг какой-то оси, направление которой задаётся единичным вектором $\mathbf{e},$ ось поворота проходит чрез начало координат). Повёрнутое поле обозначу той же буквой со штрихом: $\mathbf{A}'(\mathbf{r}).$

Как $\mathbf{A}'(\mathbf{r})$ выразить через $\mathbf{A}(\mathbf{r})\,?$ А вот как. Надо выполнить две операции в каждой точке $\mathbf{r}$-пространства (в этом рассказе я всё рассматриваю в обычном всем привычном $\mathbf{r}$-представлении). Во-первых: надо параллельно перенести в точку $\mathbf{r}$ вектор $\mathbf{A}$ из точки $\hat{R}^{-1}\mathbf{r}.$ Т.е. перенести его из точки, которая получается обратным поворотом радиус-вектора $\mathbf{r}.$ Во-вторых: перенесённый так вектор $\mathbf{A}$ надо повернуть, т.е. подействовать на его компоненты матрицей $\hat{R}$ поворота; результат этого действия запишем так: $\hat{R}\mathbf{A}.$ Итог обеих операций:

$$\mathbf{A}'(\mathbf{r})=\hat{R}\mathbf{A}(\hat{R}^{-1}\mathbf{r})$$

Первая операция, т.е. замена у каждой из трёх функций $A_a$ (где $a=x,y,z$) аргумента $\mathbf{r}$ на $\hat{R}^{-1}\mathbf{r},$ превращает их в новые функции. Это "орбитальное" преобразование можно по определению оператора орбитального момента $\hat{\mathbf{l}}$ записать так:

$$A_a(\hat{R}^{-1}\mathbf{r})=e^{-i\,\pmb{\alpha}\cdot \hat{\mathbf{l}}} A_a(\mathbf{r}) $$

Вторая же операция делает из получившихся трёх новых функций их линейные комбинации, просто как из компонент вектора при его повороте. Это преобразование можно назвать спиновым для случая $s=1,$ и по определению оператора спина $\hat{\mathbf{s}}$ записать как результат поворота вектора $\mathbf{A}$ матрицей $e^{-i\,\pmb{\alpha}\cdot \hat{\mathbf{s}}}. $ С такими определениями операторов спинового и орбитального моментов имеем:

$$\mathbf{A}'(\mathbf{r})=e^{-i\,\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{s}}}\,e^{-i\, \pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{l}}}\, \mathbf{A}(\mathbf{r})$$

Обе операции можно менять местами, т.е. сначала составить линейные комбинации из функций $A_a,$ соответствующие повороту, а затем заменить в этих функциях аргументы соответственно орбитальному преобразованию. То же другими словами: операторы спина коммутативны с операторами орбитального момента.

Теперь пусть речь идёт об инфинитезимальных поворотах. Тогда, раскладывая экспоненты в степенной ряд и удерживая члены не выше первой степени по $\alpha,$ имеем:

$$\mathbf{A}'(\mathbf{r})=(1-i\pmb{\alpha}\cdot(\hat{\mathbf{l}}+\hat{\mathbf{s}}))\,\mathbf{A}(\mathbf{r})=(1-i\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{j}})\,\mathbf{A}(\mathbf{r}) $$

где

$$\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{l}}+\hat{\mathbf{s}}$$

есть оператор полного момента; такой оператор образовался тут автоматически.

В подробном рассказе "от печки" путём детального рассмотрения этих выражений выводятся явные формулы для проекций операторов $\hat{\mathbf{l}}$ и $\hat{\mathbf{s}},$ а из них выводятся и все нужные коммутаторы. А на основе коммутаторов строится вся теория момента импульса - выводятся собственные значения и собственные функции операторов квадрата момента и одной из проекций момента, и для орбитальных операторов, и для спиновых; выводятся правила "сложения" моментов и т.п. В частности, выясняется, что собственные значения для квадрата момента $ \hat{\mathbf{j}}^2 $ равны $j(j+1),$ где при $s=1$ допустимые значения $j$ есть $j=0,1,2,...$ Разбор всего этого я для краткости пропускаю.


Переходим к примеру векторного поля $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ c $j=0.$

Это такое поле, для которого при воздействии оператора момента $\hat{\mathbf{j}}$ на $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ получается ноль. Это равенство в свою очередь означает, что

$$(1-i\pmb{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{j}})\mathbf{A}(\mathbf{r})=\mathbf{A}(\mathbf{r})$$

Т.е. поле с $j=0$ это такое поле, котрое при поворотах вообще не изменяется: $\mathbf{A}'(\mathbf{r})=\mathbf{A}(\mathbf{r}).$ Как такое может быть?

Легко догадаться, что такое векторное поле (которое инвариантно к поворотам вокруг любой оси, проходящей через начало координат) в каждой точке пространства должно быть направлено параллельно радиус-вектору этой точки, и величина $|\mathbf{A}|$ должна быть одинаковой на одинаковых расстояиях $r$ от начала координат. То есть:

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\mathbf{r}\,\Phi(r).$$

Вычислением проверяется, что в этом случае

$$\hat{\mathbf{l}}^2\mathbf{A}=2\mathbf{A}$$

т.е. компоненты этого векторного поля являются собственными функциями квадрата орбитального момента с собственным значением $l(l+1)=2,$ так что $l=1.$ Проверяется также, что

$$\hat{\mathbf{s}}^2\mathbf{A}=2\mathbf{A}$$

т.е. квадрат спина имеет определённое значение: $s(s+1)=2, $ так что $s=1$ (впрочем, это верно для любого векторного поля). И проверяется, что в данном случае $\hat{l}_a\,A_b=ie_{abc}\,A_c,$ т.е.

$$(\hat{l}_a\,\mathbf{A})_b = ie_{abc}\,A_c $$

Выполняется и равенство (впрочем, верное для любого вектора $\mathbf{A})$

$$(\hat{s}_a\mathbf{A})_b=-ie_{abc}A_c$$

Поэтому в данном примере

$$(\hat{l}_a+\hat{s}_a)\mathbf{A}(\mathbf{r})=0,\quad\text{то есть}\quad \hat{j}_a\mathbf{A}(\mathbf{r})=0,\quad a=x,y,z.$$

Тем самым подтвердилась догадка, что оператор полного момента $\hat{\mathbf{j}}$ действуя на векторное поле вида $\mathbf{A}(\mathbf{r})=\mathbf{r}\,\Phi(r)$ даёт ноль.

Можно и проще убедиться, что векторное поле такого вида не меняется при поворотах. Произвольная скалярная функция $\Phi(r),$ зависящая только от $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ т.е. не зависящая от углов $\vartheta, \varphi ,$ заведомо не изменяется при поворотах: она не изменяется при замене $\mathbf{r}$ на $\hat{R}^{-1}\mathbf{r}.$ Поэтому за ней можно вообще не следить. Тогда первая операция при повороте поля вида $\mathbf{A}(\mathbf{r})=\mathbf{r},$ т.е. замена радиус-вектора на повёрнутый обратным преобразованием, превращает это поле в $\hat{R}^{-1}\mathbf{r}.$ Вторая операция, т.е. поворот этого вектора оператором $\hat{R},$ ведёт к итоговому результату:

$$\mathbf{A}'(\mathbf{r})=\hat{R}\hat{R}^{-1}\mathbf{r}=\mathbf{r}=\mathbf{A}(\mathbf{r})$$

Таким образом, это векторное поле специального вида не изменилось при повороте. Понятно, что такой результат получается только для векторного поля именно вида $\mathbf{r}\,\Phi(r).$

Тот же самый пример (с $j=0)$ можно пояснить ещё и по-другому. Пусть мы хотим получить шаровой вектор $\mathbf{Y}_{00}$ по формуле

$$\mathbf{Y}_{j,m}(\vartheta,\varphi)=\hat{\mathbf{a}}\,Y_{l,m}(\vartheta,\varphi)\quad\text{где}\quad l=j$$

причём в роли векторного оператора $\hat{\mathbf{a}}$ должен быть выбран один из следующих операторов (для каждого из них выполняется коммутационное равенство $[\hat{l}_a,\hat{a}_b]=ie_{abc}\hat{a}_c,$ это проверяется заранее)

$$\mathbf{r}/r,\quad r\nabla,\quad\mathbf{r}\times\nabla$$

где $\nabla$ дифференцирует функции, зависящие от $\mathbf{r}.$ Тогда в правой стороне на роль $Y_{l,m}$ надо взять $Y_{00}.$ Но это просто константа: $Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},$ так что $\nabla Y_{00}\equiv 0.$ Поэтому на роль $\hat{\mathbf{a}}$ в данном примере годится только $\mathbf{r}/r:$

$$\mathbf{Y}_{00}=\mathbf{r}\,\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$$

Любое векторное поле $\mathbf{A}(\mathbf{r})$, имеющее $j=0,$ может отличаться от этого шарового вектора только сомножителем в виде какой-нибудь функции от $r$ (и от времени $t,$ но за аргументом $t$ мы во всех этих рассуждениях вообще не следим). Таким образом, снова пришли к

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\mathbf{r}\,\Phi(r)$$

В электродинамике поле излучения подчиняется "условию поперечности": $\nabla\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r})=0.$ Видно, что для поля с $j=0$ это равенство не выполняется; поэтому говорят, что фотон не может иметь $j=0.$ В ЛЛ-4 всё это аналогичным путём рассмотрено в $\mathbf{k}$-представлении; условие поперечности там имеет вид равенства $\mathbf{k}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{k})=0.$

[OlegML]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1694995 писал(а):

Что такое "внутренние координаты"? В ЛЛ идёт речь об операторах $\hat{l}_i,$ действующих на функции от $x,y,z.$ Например, подействуйте оператором $\hat{l}_y$ на функцию $F(x,y,z)=x^2e^{-r};$ получается не ноль.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1694995 писал(а):

Кроме того, у Вас в рассуждениях присутствуют, на мой взгляд, неясные понятия, мешающие пониманию: какие-то "внутренние переменные", "переменные ориентации". И часто упоминамые Вами "углы Эйлера" здесь не нужны.

Ну разделение на внутренние и внешние переменные мне казалось известно со школы. Есть понятия "движение центра масс" и "внутренняя энергия".
Некоторый наблюдатель получает информацию об объекте измеряя характеризующие объект величины. Свойства у объекта есть сами по себе и не зависят от расположения и ориентации наблюдателя. Измеряемые величины обычно представляются как функции координат составляющих объект частей. Эти координаты меняются с изменением наблюдателя, соответственно меняются и функции. Поэтому важно знать как будут меняться измеряемые величины при смене положения и ориентации наблюдателя. Из условия независимости характеризующих объект величин от наблюдателя можно получить какие-то соотношения. Выше Вы получили правило коммутации орбитального момента с любым вектором, характеризующим объект. В качестве таких векторов могут быть дипольный момент или сам угловой момент. При этом Вы считали, что вектор $\vec{a}$, характеризующий объект, при повороте $R$ преобразуется также как радиус-вектора: $\vec{a}'=\vec{a}(R\vec{r})=R\vec{a}(\vec{r})$. Внешними координатами, т.е. координатами задающими положение объекта относительно наблюдателя, являются 3 координаты центра масс и 3 переменные ориентации (например углы Эйлера). Внутренними координатами являются, например, расстояния внутри объекта, они не зависят ни от расстояния до наблюдателя ни от его ориентации (в физическом смысле). Замечу, что оператор орбитального момента можно выразить только через углы Эйлера, т.е. он действует только на 3 внешних координаты.
Очевидно, что характеризующие объект величины удобно приводить относительно выделенного наблюдателя который находится в центре масс и вращается вместе с объектом.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1694995 писал(а):

(где, кстати сказать, $\hat{s}_i$ - не для какого попало спина оператор, а именно для спина $s=1.$ Проще говоря, $\hat{s}_i$ это матрицы формата 3х3 с числовыми элементами, которые просто переставляют местами компоненты векторного оператора $\hat{\mathbf{a}}$ и домножают их на $\pm i$.)

Это еще один странный момент - операторы для спина 1. Вообще-то это одно из возможных собственных значений оператора. Не встречал, например, выражения "оператор углового момента для момента 1". Но конечно можно говорить о матрице оператора для спина 1. Но в таком случае мы должны подразумевать и матрицу орбитального момента для момента 1, что не так.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1694995 писал(а):

Вы же берёте случай не векторного оператора в смысле ЛЛ, если считаете $a_k$ произвальными функциями.

Это не так. Я беру какие надо векторные функции, т.е. преобразующиеся при поворотах как радиус-векторы.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1694995 писал(а):

Вы берёте выражение $[l_i,a_k]=l_ia_k,$ которое при $\mathbf{a}\neq\mathbf{r}\Phi(r)$ с очевидностью не равно выражению $ie_{ikl}a_l,$ и не взирая на этот факт приравниваете к $ie_{ikl}a_l=-\hat{s}_ia_k.$

Похоже под $\mathbf{a}=\mathbf{r}\Phi(r)$ Вы подразумеваете характеризующие объект вектора? С чего Вы взяли, что я беру не правильные вектора?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1695029 писал(а):

Первая операция, т.е. замена у каждой из трёх функций $A_a$ (где $a=x,y,z$) аргумента $\mathbf{r}$ на $\hat{R}^{-1}\mathbf{r},$ превращает их в новые функции. Это "орбитальное" преобразование можно по определению оператора орбитального момента $\hat{\mathbf{l}}$ записать так:

$$A_a(\hat{R}^{-1}\mathbf{r})=e^{-i\,\pmb{\alpha}\cdot \hat{\mathbf{l}}} A_a(\mathbf{r}) $$

Оператор поворота осуществляет поворот вектора, т.е. вращения его конца и не выполняет его перенос. Смотрите сами. Векторное поле у Вас произвольное. Правая часть Вашего равенства не нулевая если $A_a(\mathbf{r})\ne0$, а левая часть может быть и 0.