Задача на закон Стефана-Больцмана

[Cosmochelik]

Найти температуру полностью ионизированной водородной плазмы плотностью $\rho = 0,1 $ грамм на сантиметр кубический, при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы. Иметь в виду, что давление теплового излучения $p=u/3$, где $u$ - объемная плотность энергия излучения и что при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеальных газов.

Мое решение:
Энергетическая светимость, с одной стороны
$M = \frac{c}{4}u$
С другой
$M = \sigma T^4$
Тогда $u = \frac{4\sigma T^4}{c}$
А давление $p = \frac{u}{3} = \frac{4\sigma T^4}{3c}$

Уравнение состояния идеального газа $p = nkT$
Если $m$ - масса атома водорода, то $n = \frac{N}{V} = \frac{mN}{mV} = \frac{\rho}{m} $
Тогда давление $p =\frac{\rho kT}{m}$

Приравниваем давление, получаем:
$\frac{\rho kT}{m} = \frac{4\sigma T^4}{3c}$
Ответ $T = (\frac{3c\rho k }{4 \sigma m})^{\frac{1}{3}}$

А правильный ответ
$T = (\frac{3c\rho k }{2\sigma m})^{\frac{1}{3}}$

Не могу понять что делаю не так.. Была бы опечатка, то она не тянулась бы 35 лет из одного издания в другое..

[Mihr]

Cosmochelik в сообщении #1694913 писал(а):

Найти температуру полностью ионизированной водородной плазмы

Ионизацию Вы не учитываете, насколько я понял Ваше решение. В результате ионизации количество вещества удваивается. Поскольку из одной частицы (атома водорода) получаются две частицы: протон и электрон.

[Cosmochelik]

Mihr
Ну у меня $N,m$ это количество атомов (ионов) водорода и их масса соответственно. Я должен умножить это на 2 что бы получить правильный ответ, но не понимаю почему даже после Вашего ответа, ведь вроде я изначально считаю атомами а не молекулами.

[Mihr]

Cosmochelik в сообщении #1694917 писал(а):

я изначально считаю атомами а не молекулами

А я говорю об ионизации, а не о диссоциации (распаде молекул на атомы). При полной диссоциации двухатомных молекул на атомы количество вещества удваивается, это понятно. Понятно и то, что Вы это уже учли, взяв в качестве $N$ количество атомов, а не молекул.
Но ведь в результате распада атомов водорода на ядра (то бишь, протоны) и электроны количество вещества удваивается второй раз. И этого Вы не учли.
В общем, говоря коротко, в $N$ атомах водорода содержится $2N$ частиц: $N$ протонов и столько же электронов.

[Cosmochelik]

Mihr
Да, перепутал термин диссоциаци и ионизации. Спасибо.
Но ведь я не могу просто так умножить количество вещества на 2 в формуле, ведь электроны имеют другую массу, намного меньшую чем ионы. Их надо учитывать отдельно как-то.
Просто взять и удвоить я мог бы, если только у меня водород состоял из двух протонов, и не учитывать электроны

[Mihr]

Cosmochelik в сообщении #1694939 писал(а):

ведь электроны имеют другую массу, намного меньшую чем ионы

Ну, да. Почти в 2000 раз меньшую. Ну и что? Что от этого меняется?
Количество вещества в уравнении состояния идеального газа - это просто количество частиц $N$, из которых состоит газ, делённое на $N_A$ (число Авогадро). При полной ионизации атомов водорода количество частиц в газе (в плазме) удваивается по сравнению с атомарным водородом, состоящим из нейтральных атомов. И этот факт никак не зависит от соотношения масс электронов и протонов. Не понимаю, что Вас здесь смущает. Тот факт, что лёгкие электроны создают такое же давление, что и относительно тяжёлые протоны? Или что-то другое? Попробуйте сформулировать свои сомнения более явно.

[DimaM]

Cosmochelik в сообщении #1694939 писал(а):

Но ведь я не могу просто так умножить количество вещества на 2 в формуле, ведь электроны имеют другую массу, намного меньшую чем ионы. Их надо учитывать отдельно как-то.

Вспомните формулу для давления идеального газа: $P=nkT$. Масса в нее не входит.

[Cosmochelik]

DimaM
Плазма, я так понимаю, равновесная (температура ионов равно температуре электронов)

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Вот поэтому давление и не зависит от массы частиц. Когда все равновесное.

[DimaM]

Cosmochelik в сообщении #1694948 писал(а):

Плазма, я так понимаю, равновесная (температура ионов равно температуре электронов)

Ну да, иначе не решить. А сколько в кельвинах температура выходит?
P.S. Аккуратные скобки в ТеХ делаются с помощью \left и \right:
$T=\left(\frac{3e\rho k}{2\sigma m}\right)^{1/3}.$

[Cosmochelik]

Mihr
Более явно
$p_e = n_ekT$
$p_p = n_pkT$
Итак $n_p = n_e = n$
Тогда $p_e = p_p = \frac{p}{2}$

Mihr в сообщении #1694941 писал(а):

Тот факт, что лёгкие электроны создают такое же давление, что и относительно тяжёлые протоны

Плотность $\rho = n_e m_e + n_p m_p = n(m_e + m_p)$

$p = 2nkT = \frac{2\rho k T}{m_e + m _p}$

А вот тут, как я понимаю, уже можно пренебречь массой электронов по сравнению с протонами.
$p = 2nkT = \frac{2\rho k T}{ m _p}$

Ну да. Теперь все получается. Нужно было учесть давление электронов.
Всем спасибо !

-- 21.07.2025, 10:35 --

DimaM

DimaM в сообщении #1694951 писал(а):

А сколько в кельвинах температура выходит?

$T = 1.9 \cdot10^7$ К

[pppppppo_98]

Cosmochelik в сообщении #1694952 писал(а):

$T = 1.9 \cdot10^7$ К

близко к тмпературе ядра солнца однако