Изоморфные фактор-пространства

[MaхVT]

Я сегодня просто сыплю нетривиальными задачами.

Задачка для суперотцов (хотел даже в олимпиадных разместить):

$X$ -- векторное пространство, $X_0$ и $X_{00}$ -- подпрастранства в нём, причём $X\supset X_0\supset X_{00}$. Ввёдем фактор-отображение $\varphi\colon X\to X/X_{00}.$ Обозначим $Y=\varphi(X_0).$ Доказать, что

$$ X/X_0\cong (X/X_{00})/Y $$

Буду благодарен за идею.

[id]

Может, стоит начать с проверки алгебраической изоморфности?
Попробовать доказать, что если $x \sim y$ справа, то и слева ( это вроде доказывается ), и наоборот ( а это еще не смотрел ).

[MaхVT]

Алгебраическая изоморфность? Я таких слов не знаю.

У меня изоморфность одна:

Векторное пространство $X$ изоморфно векторному пространтсву $Y,$ если существует линейный оператор $T\colon X\to Y,$ который является изоморфизмом (то есть эпиморфизмом и мономорфизмом).

[id]

Аа, так тут это просто векторные пространства, а не топологические векторные... Ну тогда кроме алгебраической изоморфности ничего и нет.

[Brukvalub]

Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.
Итак, пусть $\exists \varphi :X \to X\;,\;\ker \varphi = X_{oo} $.Тогда $Y = \varphi (X_o )$ - подпространство в Х, поэтому $\exists \phi :X \to X\;,\;\ker \phi = Y$. Тогда отображение $\phi $ и задает требуемый изоморфизм.
Что же тут олимпиадного?

[MaхVT]

Brukvalub писал(а):

Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.

Этот оператор не удовлетворяет моему определению. Он вообще не реализует нужный изоморфизм. Правильно так:

$$ \varphi\colon U\to U/V,\quad\mathrm{ker}\varphi=V $$

Ваш оператор каждому элементу пространства $U$ ставит в соответствие элемент этого же пространства. Изоморфизм же ставит в соответствие каждому элементу $U$ элемент фактор-пространства $U/V$ (то есть целый фактор-класс).

[Brukvalub]

MaхVT в сообщении #169204 писал(а):

Этот оператор не удовлетворяет моему определению. Он вообще не реализует нужный изоморфизм. Правильно так:

$$ \varphi\colon U\to U/V,\quad\mathrm{ker}\varphi=V $$

Ваш оператор каждому элементу пространства $U$ ставит в соответствие элемент этого же пространства. Изоморфизм же ставит в соответствие каждому элементу $U$ элемент фактор-пространства $U/V$ (то есть целый фактор-класс).

Я почему-то надеялся, что профакторизовать пространство по отображению с ядром Вы Асилите самостоятельно...НиАсилил

[MaхVT]

Brukvalub писал(а):

Я почему-то надеялся, что профакторизовать пространство по отображению с ядром Вы Асилите самостоятельно...НиАсилил

Если честно, я не понимаю, что Вы говорите. Как это так "профакторизовать пространство по отображению"? Я умею факторизовать пространство по подпространству.

[Brukvalub]

MaхVT в сообщении #169216 писал(а):

Если честно, я не понимаю, что Вы говорите. Как это так "профакторизовать пространство по отображению"? Я умею факторизовать пространство по подпространству.

Я подразумеваю под этим тот факт, что образ линейного пространства при линейном отображении изоморфен факторпространству этого пространства по ядру линейного отображения, а само это отображение естественным образом задает изоморфизм образа и фактор-пространства: все элементы пространства, составляющие один класс в фактор-пространстве, попадают под действием отображения в один элемент образа.

[MaхVT]

Эх, Brukvalub, если б я у Вас принимал эту задачу, то ни за что не принял бы. Вы упорно игнорируете тот факт, что фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.

Но так уж и быть, я расскажу Вам грамотное решение:

по-прежнему, $\varphi\colon X\to X/X_{00}$
введём ещё фактор-отображение

$$\psi\colon X/X_{00}\to(X/X_{00})/Y$$

Тогда

$$ X/X_{0}=X/\mathrm{ker}(\psi\circ\varphi)\cong\mathrm{im}(\psi\circ\varphi)=(X/X_{00})/Y $$

Надеюсь, Вы Асилите все переходы в последней строчке(там, кстати, чуть-чуть подумать надо).

[Brukvalub]

MaхVT в сообщении #169463 писал(а):

Вы упорно игнорируете тот факт, что фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.

Я ничего не игнорирую. А вот Вы игнорируете тот факт, что изоморфные векторные пространства НЕРАЗЛИЧИМЫ. Откройте глазки и еще раз прочтите:

Brukvalub в сообщении #169221 писал(а):

Я подразумеваю под этим тот факт, что образ линейного пространства при линейном отображении изоморфен факторпространству этого пространства по ядру линейного отображения, а само это отображение естественным образом задает изоморфизм образа и фактор-пространства: все элементы пространства, составляющие один класс в фактор-пространстве, попадают под действием отображения в один элемент образа.

Слово ИЗОМОРФЕН Вам знакомо? А додумать детали моего рассуждения я оставил именно Вам, и упрекать меня за то, что я не разжевал все ребеночку и не положил ему разжеванное в ротик - по меньшей мере невежливо.
Если Вы так хорошо все понимаете, что беретесь поучать других, то какого... Вы просите помощи на форуме и величаете тривиальные задачи олимпиадными, умник вы наш?

MaхVT в сообщении #169112 писал(а):

Задачка для суперотцов (хотел даже в олимпиадных разместить):

[MaхVT]

А мы всё больше преходим на личности.

Я остаюсь при своём мнении; не сомневаюсь, что и Вы останетесь при своём. Давайте уже закончим этот спор. Впрочем, если хотите, можно ещё страниц так пять поупражняться в словесной перебранке.

[Brukvalub]

MaхVT в сообщении #169476 писал(а):

Я остаюсь при своём мнении

Это при каком мнении? При этом, что-ли:

MaхVT в сообщении #169463 писал(а):

фактор-пространство -- это самостоятельное пространство, никакого отношения после факторизации к исходному пространству не имеющее.

Почему не имеющее? Фактор-пространство является разбиением исходного пространства на подмножества, поэтому имеет отношение к исходному пространству.
Кроме того, Вы не понимаете, что ИЗОМОРФНЫЕ пространства НЕРАЗЛИЧИМЫ с точки зрения алгебраического строения и глупо считать их разными только потому, что они построены из множеств с элементами разной природы.

MaхVT в сообщении #169476 писал(а):

Давайте уже закончим этот спор.

Охотно его заканчиваю. Я бы и не начинал его, если бы Вы не пытались учить меня тому, что сами плохо понимаете.

[Профессор Снэйп]

MaxVT, Вы чего? Я всегда почитал Вас за грамотного и адекватного чела. Какая муха Вас укусила?

После того, как Вы мне сдавали ТА, ни за что не поверю, что Вы такую банальную чепуху почитаете задачами для суперотцов, годными для помещения в олимпиадный раздел. Или, может, есть два разных MaxVT, которых я путаю?

[MaхVT]

С тем, что задача олимпиадная,я, конечно, переборщил.
Муха меня укусила тогда, когда Brukvalub написал:

Цитата:

Предлагаю воспользоваться тем фактом, что для каждого подпространства $V \subset U$ векторного пространства U существует линейный опрератор $\varphi :U \to U\;,\;\ker \varphi = V$ Этот оператор и реализует изоморфизм пространства и его фактор-пространства.

Ну ни за что в жизни я так не скажу.