Предел функции и функция от предела

[Solaris86]

Здравствуйте!
Подскажите, как можно доказать, что $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x)$.

[Anton_Peplov]

Первый вопрос: а чему, по-Вашему, равен предел $\lim\limits_{x \to x_0}x$ ?

[Mihr]

Solaris86, то, что Вы написали, - это определение непрерывной в точке $x_0$ функции. Правда, несколько вычурное. Обычно пишут проще: функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.
Для произвольной функции $f(x)$ и произвольной точки $x_0$ Ваше равенство неверно.

[Solaris86]

Anton_Peplov в сообщении #1694542 писал(а):

Первый вопрос: а чему, по-Вашему, равен предел $\lim\limits_{x \to x_0}x$ ?

$\lim\limits_{x \to x_0}x = x_0$

-- 17.07.2025, 08:04 --

Mihr в сообщении #1694545 писал(а):

Solaris86, то, что Вы написали, - это определение непрерывной в точке $x_0$ функции. Правда, несколько вычурное. Обычно пишут проще: функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.
Для произвольной функции $f(x)$ и произвольной точки $x_0$ Ваше равенство неверно.

Это фрагмент из книги "Конспект лекций по высшей математике" Д.Т. Письменного

Для меня тут непонятна именно последовательность рассуждения: если бы было написано, что так как $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$, а $ x_0 = \lim\limits_{x \to x_0}x $ и, соответственно, $ f(x_0) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x) $, то $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x) $. Понятно, если через такую цепочку рассуждений приходим к выводу, что $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x)$, так как каждая из частей этого равенства равна $f(x_0)$ и это $f(x_0)$ является связующим.
В книге же другая последовательность рассуждения: $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x) = f(x_0)$, тут связующим получается $f(\lim\limits_{x \to x_0}x)$, поэтому у меня и возник вопрос: а как при этом доказать, что $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(\lim\limits_{x \to x_0}x)$.

[Mihr]

Solaris86 в сообщении #1694563 писал(а):

В книге же другая последовательность рассуждения:

Ну, изложено несколько коряво. Стоит ли медитировать над этим? Лучше оставьте и двигайтесь дальше.

Видимо, автор хотел подчеркнуть тот факт, что символ предела функции в точке и непрерывной в этой точке функции перестановочны.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1694563 писал(а):

Для меня тут непонятна именно последовательность рассуждения

Это у Письменного вообще не рассуждение, а просто нестрогие ассоциации, что с чем можно связать на интуитивном уровне. Рассуждения ищите не в конспектах, а в учебниках (например: Фихтенгольц, Кудрявцев, Решетняк).

[Anton_Peplov]

Solaris86
Вы понимаете, что речь у Письменного идет о непрерывных функциях?
Можете построить контрпример к утверждению из Вашего стартового поста для разрывной функции?