Конечное подпокрытие для компактного множества.

[Dedekind]

Дано: в открытом покрытии $\{O_{\lambda}: \lambda \in \Lambda\}$ любого закрытого интервала $[a,b]$ можно выделить конечное подпокрытие.

Доказать: в открытом покрытии $\{O_{\lambda}: \lambda \in \Lambda\}$ любого компактного множества $K$ можно выделить конечное подпокрытие.

Компактное множество = замкнутое + ограниченное. Все происходит в стандартной топологии на вещественных числах.

Вопрос: понятное дело, что для любого компактного множества $K$, оно содержится в некотором закрытом интервале $[a,b]$. Но ведь не любое открытое покрытие $K$ также покрывает и $[a,b]$. Поэтому неясно, как тут применить утверждение из Дано?

[mihaild]

Рассмотрим покрытие $[a, b]$: покрытие $K$ плюс дополнительно $(a - 1, b + 1) \setminus K$ (оно открыто, т.к. $K$ замкнуто).
(чуть лучше - заметить, что в определении компактного множества достаточно рассматривать подкрытия, открытые в нём в индуцированной топологии, и получится, что замкнутое подмножество компактного множества компактно, что верно уже для всех пространств)

[Dedekind]

mihaild
Спасибо!

-- 13.07.2025, 10:49 --

mihaild в сообщении #1694065 писал(а):

достаточно рассматривать подкрытия, открытые в нём в индуцированной топологии

До индуцированной топологии пока не дошел, но тоже спасибо, сделал пометку вернуться.

[Anton_Peplov]

Dedekind в сообщении #1694063 писал(а):

Доказать: в открытом покрытии $\{O_{\lambda}: \lambda \in \Lambda\}$ любого компактного множества $K$ можно выделить конечное подпокрытие.

Вы ведь знаете, что в общей топологии именно это свойство служит определением компактного множества?

[Dedekind]

Anton_Peplov
Да, слышал об этом. Но в общую топологию я подробно не погружался. Иду по порядку, сейчас основательно прорабатываю курс Real Analysis, потом перейду к топологии.

[Anton_Peplov]

Dedekind в сообщении #1694072 писал(а):

Иду по порядку, сейчас основательно прорабатываю курс Real Analysis, потом перейду к топологии.

Это разумный подход. Можно ещё попробовать одновременно: глава анализа - соответствующая глава топологии. Возможно, это даст более объёмный и глубокий взгляд на предмет. Но, возможно, я пристрастен из-за любви к топологии.

По общей топологии мой любимый учебник: Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

[Dedekind]

Anton_Peplov
А какой учебник по анализу подойдет к нему в пару?

[Anton_Peplov]

Dedekind
У меня нет любимого учебника по анализу. Зорич мне не нравится своим антиоккамизмом: он все время лезет глубже и, соответственно, объясняет сложнее, чем требуется собственно в курсе анализа. Как первый учебник по анализу он, по-моему, этим и плох. Хотя как второй очень полезен, чтобы проследить связи анализа с линейной алгеброй, теорией меры, той самой общей топологией и прочими дисциплинами.
Отмечу, что смысл дифференциального исчисления многих переменных я понял именно благодаря Зоричу. Т.е. почему эти формулы именно такие, а не другие.

Моим первым учебником матана был Ильин-Позняк, но он для физиков и с математической колокольни может выглядеть недостаточно строгим (например, по части построения действительных чисел).

Фихтенгольц очень хорошо объясняет, но терминологически устарел.
Есть еще много других учебников по анализу, но я с ними не знаком. Вам лучше спросить преподавателей, читающих курс анализа.

В целом, думаю, не будет большой беды, если вы выберете тот учебник, который нравится лично Вам. Кроме того, тут на форуме где-то уже были обсуждения учебников, поищите гуглом по форуму.

[Dedekind]

Anton_Peplov
Спасибо за рекомендации. Когда-то еще студентом начинал Зорича, но не потянул. Нужно будет заглянуть, когда доберусь до многих переменных.