Произведение с числами Ферма

[Gepidium]

Здраствуйте.
Такая задача: вычислить бесконечное произведение

$$\frac{2+1}{2}\cdot \frac{2^2+1}{2^2}\cdot \frac{2^4+1}{2^4}\cdot \frac{2^8+1}{2^8} \cdots \frac{2^{2^n}+1}{2^{2^n}} \cdots$$

Начала решать в лоб: вычислила несколько частичных произведений, но никакой закономерности не обнаружила.
И попутный вопрос. По методам вычисления конечных и бесконечных сумм много написано в разных учебниках, а вот про бесконечные произведения не нашла. Может, кто посоветует?

[Combat Zone]

Умножьте слева на $(1-1/2)$.

-- 06.07.2025, 08:35 --

Про второй вопрос. Как и с суммами, общих рецептов нет.
Вопрос не освещается отдельно, поскольку произведение сводится к сумме логарифмированием, так что бесконечные произведения легко свести к рядам. Это позволит проще отнестись к вопросам сходимости, но ничего не даст для вычисления значения произведения. Как правило, в каждом случае подход индивидуален, если есть вообще.

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1693402 писал(а):

Начала решать в лоб: вычислила несколько частичных произведений, но никакой закономерности не обнаружила.

Это же старая известная задача.

Запишите Ваше произведение$\prod \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{2^{2^n}+1}{2^{2^n}}$ как $\prod \limits_{n=0}^{\infty} \left(1 + \dfrac{1}{2^{2^n}} \right)$.

Перемножьте несколько первых скобок и увидите закономерность.

[Dmitriy40]

? s=1.0; for(n=0,9, s*=(2^(2^n)+1)/2^(2^n); print(n,": ",s); )
0: 1.5000000000000000000000000000000000000
1: 1.8750000000000000000000000000000000000
2: 1.9921875000000000000000000000000000000
3: 1.9999694824218750000000000000000000000
4: 1.9999999995343387126922607421875000000
5: 1.9999999999999999998915797827514495566
6: 2.0000000000000000000000000000000000000
7: 2.0000000000000000000000000000000000000
8: 2.0000000000000000000000000000000000000
9: 2.0000000000000000000000000000000000000

[Батороев]

Gepidium в сообщении #1693402 писал(а):

Начала решать в лоб: вычислила несколько частичных произведений, но никакой закономерности не обнаружила.

Посмотрите, как связаны эти произведения с последующими ЧФ?

[Gepidium]

Батороев в сообщении #1693412 писал(а):

с последующими ЧФ

Батороев
Что такое ЧФ? Я кроме Черноморского флота ничего придумать не могу.

[TOTAL]

Gepidium в сообщении #1693416 писал(а):

Что такое ЧФ? Я кроме Черноморского флота ничего придумать не могу.

Почему тогда не назвали топик "Произведение с Черноморски флотом"?

[Батороев]

Gepidium в сообщении #1693416 писал(а):

Что такое ЧФ?

Числа Ферма.

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1693432 писал(а):

Почему тогда не назвали топик "Произведение с Черноморски флотом"?

[Gepidium]

Я использовала подсказку Gagarin1968, и без всяких матпакетов произведение свелось к бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$\prod \limits_{n=0}^{\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^{2^n}} \right)=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+ ...+\dfrac{1}{2^n}+...=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2$$

Правильно?

Батороев, TOTAL, мне вот интересно, когда люди пишут ЧФ, ЕМНИП, ВЗН и тому подобное, что они делают с кучей сэкономленного времени?

[Combat Zone]

Хорошо. А теперь

Цитата:

Умножьте слева на $(1-1/2)$.

Будет быстрее.

[Gepidium]

Combat Zone в сообщении #1693442 писал(а):

Хорошо. А теперь

Цитата:

Умножьте слева на $(1-1/2)$.

Будет быстрее.

Combat Zone
Да, получилось.
Тогда к Вам вопрос: как я, глядя на данное произведение, должна догадаться, что левую часть надо умножить на $(1-1/2)$?
Меня просто интересует ход мысли, как такое возникает в голове? Как вспышка, озарение или же как решение, продиктованное опытом?

[Combat Zone]

Gepidium
Совершенно верно. Как озарение, продиктованное опытом.
Мне эта задача попалась как-то на студенческой олимпиаде. Полчаса медитации, а потом рука сама написала.

[Батороев]

Gepidium в сообщении #1693441 писал(а):

Батороев, TOTAL, мне вот интересно, когда люди пишут ЧФ, ЕМНИП, ВЗН и тому подобное, что они делают с кучей сэкономленного времени?

Не серчайте! "Сэкономленное время" я истратил на ответ, в котором расшифровал аббревиатуру. )

Gepidium в сообщении #1693448 писал(а):

Меня просто интересует ход мысли,

У меня ход мысли такой:
В числителе указанного Вами произведения - произведение всех чисел Ферма, предшествующих следующему числу Ферма $(2^{2^n}+1)$.
При этом $\prod \limits_{r=0}^{n-1}\left({2^{2^r}+1}\right) = 2^{2^n}-1$
Произведение двоек знаменателя равно $2^{(2^{n}-1)}$