Задача 2.1 #8.ii из Topology Without Tears

[lebesgspacine]

$G_\delta$ множеством называется не более чем счётное (countable) пересечение открытых множеств. Докажите, что все открытые интервалы $(a, b)$ и все замкнутые интервалы $[a, b]$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$.

Я решил эту задачу только для открытых интервалов частично:
Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

Предположим $A = (a, b)$.

Конечный случай:
База индукции:
Предположим $A = (a, b)$. Пусть $S_{1} = (a, b + 1)$ и $S_{2} = (a - 1, b)$. Тогда $S_{1} \cap S_{2} = (a, b + 1) \cap (a - 1, b) = (a, b)$.

Шаг индукции:
Предположим $A = \bigcap^{n}_{i = 1}S_{i}$. Пусть $S = (a, b + 1)$. Тогда $\bigcap^{n + 1}_{i = 1}S_{i} = \bigcap^{n}_{i = 1}S_{i} \cap S = (a, b) \cap (a, b + 1) = (a, b)$.

Верно ли я доказал для конечного случая?
Я думаю что для счётного случая можно использовать счётное пересечение интервалов вида $(a - n, b)$, где $n$ целое число с $n \geq 0$. Так?

[dgwuqtj]

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

А полностью с кванторами это не запишете? В частности, какой квантор навешен на $N$?

[ИСН]

Не-более-чем-счётное множество может с той же лёгкостью состоять из одного элемента, как и из двух.

[lebesgspacine]

dgwuqtj в сообщении #1692544 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

А полностью с кванторами это не запишете? В частности, какой квантор навешен на $N$?

$$\forall a \in \mathbb R\forall b \in \mathbb R\forall N \subseteq \mathbb N(A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i})$$

Но лучше это заменить на $\forall a \in \mathbb R\forall b \in \mathbb R(A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in \mathbb N}S_{i})$.

[mihaild]

Квантора по $S_i$ не хватает.
И, хотя это определение и эквивалентно оригинальному, но всё же

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

не более чем счётное (countable) пересечение открытых множеств

А у Вас "не более чем счётное" заменено на просто "счётное".

[skobar]

lebesgspacine

Попробую написать прямо, о чем уважаемые участники форума писали выше косвенно.
По-моему, вы несколько неправильно предоставляете себе определение $G_\delta$-множества. Для того, чтобы доказать, что какое-то множество является $G_\delta$-множеством, требуется найти какое-то одно представление его в виде пересечения не более чем счетного числа открытых множеств, а не строить такое представление для каждого подмножества натуральных чисел, как это делали вы.
В частности, интервал $(a,b)$ уже открыт и является пересечением семейства открытых множеств состоящего из одного единственного множества - этого самого интервала. Поэтому, тот факт, что $(a,b)$ - это $G_\delta$-множество совершенно очевиден.