теорема Шрёдера-Бернштейна

[Xo4y3HaTb]

Судя по указанной системе $x\in X\setminus Y$ отображается сам в себя, чего не может быть. По идее в первую строку системы нужно добавить $x\in X\setminus Y$?

[mihaild]

Так при $n = 0$ как раз и получается в первой строке условие $x \in X \setminus Y$.

[Xo4y3HaTb]

А как из этой записи можно сделать вывод, что $f^0(x)=x$?

[Geen]

А как вообще тут можно говорить о композиции?

[Xo4y3HaTb]

Geen в сообщении #1692684 писал(а):

А как вообще тут можно говорить о композиции?

Функция в степени в учебнике больше не встречалась нигде. Прообраз (-1), обратная (-1), и композиция (n). О чём могу говорить кроме как композиции? В общем приму как определение.

[Geen]

Xo4y3HaTb в сообщении #1692688 писал(а):

О чём могу говорить кроме как композиции?

Так $f$ это из $X$ в $Z$...

[Xo4y3HaTb]

Geen в сообщении #1692703 писал(а):

Так $f$ это из $X$ в $Z$...

Но это не мешает учебнику ввести композицию $f^n$

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1692680 писал(а):

А как из этой записи можно сделать вывод, что $f^0(x)=x$?

Стандартное соглашение. Мотивированное, например, тем что $f^{n + m} = f^n \circ f^m$.

[eugensk]

У Зорича как и в любом учебнике есть неточности. Лучше добавьте условие какое хотели, потому что 0 не натуральное число, а в условии $n$ натуральное.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1692737 писал(а):

Стандартное соглашение. Мотивированное, например, тем что $f^{n + m} = f^n \circ f^m$.

Понял, спасибо!

eugensk в сообщении #1692762 писал(а):

У Зорича как и в любом учебнике есть неточности. Лучше добавьте условие какое хотели, потому что 0 не натуральное число, а в условии $n$ натуральное.

Я так понял по фон Нейману натуральный ряд начинается с 0 и в учебнике используется именно этот подход.

Подскажите, пожалуйста, указанная система в задаче подразумевает что мн-ва $X, Y, Z$ бесконечны?

[mihaild]

eugensk в сообщении #1692762 писал(а):

потому что 0 не натуральное число

Для целей теории множеств гораздо удобнее считать 0 натуральным.

Xo4y3HaTb в сообщении #1692830 писал(а):

указанная система в задаче подразумевает что мн-ва $X, Y, Z$ бесконечны?

Докажите, что если $X$ конечно, и есть биекция $X \to Z \subseteq X$, то $Z = X$.

[eugensk]

Xo4y3HaTb в сообщении #1692830 писал(а):

Я так понял по фон Нейману натуральный ряд начинается с 0 и в учебнике используется именно этот подход.

Не совсем, я еще помню учебник Зорича. Множество натуральных чисел с нулем он обозначает иначе, $\mathbb{N}_0$.
И поверьте, после задачи №3 модель натурального ряда начинающегося с 0 больше вам не встретится, у учебнике натуральные числа начинаются с 1.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1692831 писал(а):

Докажите, что если $X$ конечно, и есть биекция $X \to Z \subseteq X$, то $Z = X$.

Пусть $CardX=c$. Для равенства $X=Z$ достаточно д-ть $cardX=cardZ$. От противного. Пусть $cardZ=d<c\Rightarrow \exists x' (x'\in X)\wedge (x'\notin Z) f(x')=z'\in Z$. $\forall z\in Z f(z)\neq z'$. Т.к. $f -$ биекция, то $cardZ=cardf(Z)$, но это невозможно т.к. $z'\in Z$ и $z'\notin f(Z)$. Получаем $X\subset Y\subset X\Rightarrow X=Y$.

eugensk в сообщении #1692849 писал(а):

И поверьте, после задачи №3 модель натурального ряда начинающегося с 0 больше вам не встретится, у учебнике натуральные числа начинаются с 1.

Хорошо, я учту это. Спасибо!