Декартово произведение геометрических объектов

[cxzbsdhwert]

Читаю Зорича Математический анализ, первую часть. На странице 32, в задании 4 просится проиллюстрировать, что Декартово произведение например двух прямых это плоскость, или что прямая $\times$ окружность это цилиндр.

Прямая это множество точек - упорядоченных пар: $\text{прямая}=\{\text{точка}:=(x,kx+b):x,k,b \in \mathbb{R} \}$, где $(i,j)=\{i,\{i,j\}\}$.

Такое множество может быть проиллюстрированно на Декартовой системе координат, поскольку данные система координат ставит соответствие между двумя множествами (вещественных) чисел - прямая, как уже написано, это множество упорядоченных пар, являющимися точками, элементами которых как раз являются (вещественные) числа.

Тогда Декартово произведение:

$$\text{прямая1}\times\text{прямая2}=\{(\text{точка1},\text{точка2}):(\text{точка1}\in \text{прямая1}\land\text{точка2}\in \text{прямая2})\}$$

Результатом является множество упорядоченных пар, но элементы которых являются не числа а другими упорядоченными парами - точками.

Я понимаю, что предполагалось, что при Декартовом произведении двух прямых результатом должно быть множество точек, где каждый первый элемент (каждый "икс") является каждым первым элементом одной прямой, а каждый второй элемент (каждый "игрек") каждым вторым элементом второй прямой. Очень важно, что таким образом формировались бы новые точки, не принадлежащие ни первой ни второй прямой, действительно создавая плоскость.

Но по факту, при Декартовом произведении двух прямых этого не происходит - мы получаем множество пар точек, никаким образом не трансформированных, и даже, если мы рассмотрим множество пар точек как просто множество точек, которые эти пары составляют (что нам никто не запрещает), мы просто получим объединение множеств, задающих две прямые, но никак не плоскость.
____

Хорошо, допустим под прямой и отрезком, в учебнике имелись в виду не двухмерные прямые и отрезок, а одномерные прямые и отрезок. То есть одномерный отрезок это некоторое множество $[a,b]=\{x\in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \}$, а одномерная прямая это просто $\mathbb{R}$.

Действительно, тогда Декартово произведение таких отрезков и прямых это множество точек, а не множество других упорядоченных пар, элементами которых уже являются точки, и что самое важное - точки получаются "новые", в самом деле определяющие прямоугольник и плоскость соответственно.

____

Но как быть с Декартовым произведением прямой и окружность к примеру? Мы в лучшем случае получаем множество упорядоченных пар числа (из прямой) и точки, то есть пары числа (из прямой), и новой точки, отличной от точек оригинальной окружности мы никоим образом так не получаем.

Интуитивно, при этом, как получается цилиндр я прекрасно представляю - мы "идём" по каждой точке прямой и на неё располагаем смещённый дубликат окружности.
И в случае Декартового произведения действительно, "идём" по каждому "иксу" например (из элементов прямой) и каждом "иксу" ставим в соответсвие все точки оригинальной окружности. Вот только мы тогда просто накладываем окружность саму на себя и её же в итоге и получаем, а должны были на каждый "икс" не просто все точки окружности ставить в пары, а ставить все точки окружности, трансформированные под такой "икс".

Я также понимаю, что, наверное в случае с трёхмерными геометрическими объектами, коими являются цилиндр или тор, рассматривая множество их точек как функцию, мы действительно можем ставить в соответствие не число числу ($x \rightarrow y$), а пару чисел числу ($x \rightarrow (y,z)$), но всё равно, такая пара чисел для каждого икса должна быть разная, то есть зависеть от икса, а в случае с Декартовым произведением мы разным иксам одни и те же пары ставим.
____

Объясните пожалуйста, что я упускаю.

[dgwuqtj]

Не надо пытаться доказать равенство между произведением двух геометрических объектов и третьим объектом. Вообще-то точки плоскости тоже парами чисел не являются. А вот взаимно-однозначное соответствие привести можно.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1692522 писал(а):

Не надо пытаться доказать равенство между произведением двух геометрических объектов и третьим объектом. Вообще-то точки плоскости тоже парами чисел не являются. А вот взаимно-однозначное соответствие привести можно.

Хотел бы чтобы Вы разъяснили примерно каждое предложение. Начну со второго:

1. Почему точки плоскости упорядоченными парами чисел не являются и чем они являются?
2. Почему не нужно пытаться доказать равенство? Есть ли равенство между множеством упорядоченных пар $R^2=\{(x,y):x,y\in R\}$ и множеством упорядоченных пар $\text{плоскость}=R\times R$? То есть верно ли, что $R^2 / \text{плоскость}=\emptyset \land \text{плоскость} / R^2=\emptyset$
3. Биекцию из чего во что?

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert в сообщении #1692525 писал(а):

Почему точки плоскости упорядоченными парами чисел не являются и чем они являются?

А что такое плоскость? Для меня это какое-то абстрактное множество с дополнительной структурой, тогда точки — это просто какие-то элементы. Тоже множества, если в рамках ZFC.

cxzbsdhwert в сообщении #1692525 писал(а):

Почему не нужно пытаться доказать равенство?

Ну, это смотря как вы все эти объекты определяете. Если для вас плоскость — это буквально $\mathbb R^2$, а евклидово пространство — $\mathbb R \times \mathbb R^2$, то можно получить равенство. Только цилиндр нужен не абы какой, а правильно расположенный. Разумеется, $\mathbb R \times \mathbb R = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb R\}$.

cxzbsdhwert в сообщении #1692525 писал(а):

Биекцию из чего во что?

Из произведения прямой на окружность в цилиндр. Или наоборот, из цилиндра в произведение.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1692529 писал(а):

А что такое плоскость? Для меня это какое-то абстрактное множество с дополнительной структурой, тогда точки — это просто какие-то элементы. Тоже множества, если в рамках ZFC.

Плоскость я определил в изначальной публикации - множество всевозможных упорядоченных пар, элементами которых являются вещественные числа. Упорядоченную пару тоже определил. Элементами плоскости тогда являются упорядоченные пары - точки, благодаря которым, их самих можно иллюстрировать в декартовой системе координат.

dgwuqtj в сообщении #1692529 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1692525 писал(а):

Почему не нужно пытаться доказать равенство?

Ну, это смотря как вы все эти объекты определяете. Если для вас плоскость — это буквально $\mathbb R^2$, а евклидово пространство — $\mathbb R \times \mathbb R^2$, то можно получить равенство. Только цилиндр нужен не абы какой, а правильно расположенный. Разумеется, $\mathbb R \times \mathbb R = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb R\}$.

cxzbsdhwert в сообщении #1692525 писал(а):

Биекцию из чего во что?

Из произведения прямой на окружность в цилиндр. Или наоборот, из цилиндра в произведение.

Исходя из Вашего "правильно расположенного цилиндра" и особенно биекции из Декартова произведения в цилиндр, я так понимаю, что никакого цилиндра только путём Декартова произведения прямой на окружность не получится - максимум, после получения множества, которое будет являться результатом такого Декартового произведения, его ещё нужно будет "прогнать" через отображение, которое каждой точке, соответствующей вещественному числу (а получится, ещё раз напомню именно множество упорядоченных пар, один элемент которых - вещественное число, условный икс, а второй точка), придаст уже её элементам (то есть "игреку" и "зет"), зависящее от стоящего в паре с ней вещественного числа ("икс") изменение.

Вы так считаете?

[dgwuqtj]

Ну почему же, возьмём цилиндр $\{(x, (y, z)) \in \mathbb R \times \mathbb R^2 \mid y^2 + z^2 = 1\}$. Это буквально декартово произведение.

cxzbsdhwert в сообщении #1692534 писал(а):

Плоскость я определил в изначальной публикации

Меня сбило с толку $k x + b$, видимо.

[Anton_Peplov]

cxzbsdhwert в сообщении #1692520 писал(а):

в задании 4 просится проиллюстрировать, что Декартово произведение например двух прямых это плоскость

Точная цитата.

Зорич писал(а):

Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение
a) двух отрезков (прямоугольник);
b) двух прямых (плоскость);
c) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);

Задание сформулировано чрезвычайно неряшливо. Даже странно для Зорича, который любит копаться в теории множеств, топологии и прочих материях, имеющих опосредованное отношение к собственно анализу.

Во-первых, я не знаю, что такое "проиллюстрировать геометрически". Я знаю только, что такое "доказать".

Далее, декартово произведение $A \times B$ множеств $A$ и $B$ - это по определению множество упорядоченных пар $\{(a, b) | a \in A, b \in B\}$. Если мы отождествляем прямую с $\mathbb R$ (каждая точка прямой - действительное число), а плоскость с $\mathbb R^2$ (каждая точка плоскости - упорядоченная пара действительных чисел $(x, y)$), то $\mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2$ по определению.

Если же плоскость - это по-прежнему $\mathbb R^2$, но прямая - подмножество плоскости $A = \{(x, y)|y = kx + b\}$, то декартово произведение двух прямых $A_1 = \{(x, y)|y = k_1x + b_1\}$ и $A_2 = \{(x, y)|y = k_2x + b_2\}$ - это множество $A_1 \times A_2 = \{((x_1, y_1), (x_2, y_2))|y_1 = k_1x_1 + b_1, y_2 = k_2x_2 + b_2\}$, т.е. элемент $A_1 \times A_2$ - упорядоченная пара упорядоченных пар действительных чисел. И тогда множество $A_1 \times A_2$ - это не плоскость уже потому, что его элемент - это не пара чисел.

В общем, не советую много думать об этом задании. Оно просто плохо сформулировано.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1692537 писал(а):

Ну почему же, возьмём цилиндр $\{(x, (y, z)) \in \mathbb R \times \mathbb R^2 \mid y^2 + z^2 = 1\}$. Это буквально декартово произведение.

Это декартово произведение прямой (одномерной) на плоскость и (вынужденно) с наложенным условием. В упомянутой мной книге написано про декартово произведение прямой на окружность, и без каких либо дополнительных манипуляций.

Более соответствовать книге будет запись $\{(a,b)\in \space (R\times \{(x,\sqrt{1-x^2}):x \in R\})\}$

Правда, перечитывая в который раз написанное мною же, прихожу к понимаю, что видимо, я всё же:

1) неправильно представлял точку в трёхмерном пространстве;
2) неправильно представлял, а точнее вообще почти не задумывался об уравнении окружности - я думал, что либо y и z как-то будут зависеть от x, либо что x от них, но сейчас читаю, что в уравнении цилиндра как раз одна переменная всегда независимая.

То есть, всё таки, при построении трёхмерной точки у нас будет например "y" из прямой и пара x,z из окружности, и мы сначала "отступим" вверх или вниз вдоль OY на y, а потом также "отмерим" по OX и OZ, оставаясь на том же "y". Множество x и z для каждого "y" действительно будут одинаковым, но оно всё таки будет "ездить", а не оставаться на одном месте при разных "y", как я ошибочно думал.

В общем, спасибо за помощь, в любом случае.

-- 27.06.2025, 14:16 --

Anton_Peplov в сообщении #1692540 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1692520 писал(а):

в задании 4 просится проиллюстрировать, что Декартово произведение например двух прямых это плоскость

Точная цитата.

Зорич писал(а):

Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение
a) двух отрезков (прямоугольник);
b) двух прямых (плоскость);
c) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);

Задание сформулировано чрезвычайно неряшливо. Даже странно для Зорича, который любит копаться в теории множеств, топологии и прочих материях, имеющих опосредованное отношение к собственно анализу.

Во-первых, я не знаю, что такое "проиллюстрировать геометрически". Я знаю только, что такое "доказать".

Далее, декартово произведение $A \times B$ множеств $A$ и $B$ - это по определению множество упорядоченных пар $\{(a, b) | a \in A, b \in B\}$. Если мы отождествляем прямую с $\mathbb R$ (каждая точка прямой - действительное число), а плоскость с $\mathbb R^2$ (каждая точка плоскости - упорядоченная пара действительных чисел $(x, y)$), то $\mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2$ по определению.

Если же плоскость - это по-прежнему $\mathbb R^2$, но прямая - подмножество плоскости $A = \{(x, y)|y = kx + b\}$, то декартово произведение двух прямых $A_1 = \{(x, y)|y = k_1x + b_1\}$ и $A_2 = \{(x, y)|y = k_2x + b_2\}$ - это множество $A_1 \times A_2 = \{((x_1, y_1), (x_2, y_2))|y_1 = k_1x_1 + b_1, y_2 = k_2x_2 + b_2\}$, т.е. элемент $A_1 \times A_2$ - упорядоченная пара упорядоченных пар действительных чисел. И тогда $A_1 \times A_2$ - это не плоскость по определению.

В общем, не советую много думать об этом задании. Оно просто плохо сформулировано.

Ну я это вообще сначала просматривая лекцию Шапошникова по анализу на этом запнулся, потом решил посмотреть нет ли такой задачи в книге Зорича. Правда Шапошников сам Зорича к прочтению рекомендовал в первой лекции.

Там, как я выше написал, всё правильно, если иметь в виду что прямая одномерная то есть просто $R$. По крайней мере вплоть до примера "прямая $\times$ окружность" - в случае с "окружность на окружность" получается всё-таки соответствие точки точке, а не числу точке, и такое отличие, видимо обусловлено тем, что уравнение торра уже, в отличии цилиндра, наверное независимой переменной не имеет. Короче, ладно, буду дальше слушать\читать, спасибо и за Ваши пояснения.

[cxzbsdhwert]

cxzbsdhwert в сообщении #1692541 писал(а):

неправильно представлял, а точнее вообще почти не задумывался об уравнении окружности

Имел в виду уравнение цилиндра: он формируется как раз как окружность, которая "идёт" вдоль прямой, и та часть координат цилиндра, которую составляют координаты окружности не зависит от координаты цилиндра, которую составляет прямая.