Обмен монет,21 задание из ЕГЭ база

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
$\textbf{Условие}$:
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за $2$ золотые монеты получить $3$ серебряные и одну медную;
• за $5$ серебряных монет получить $3$ золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $50$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
$\textbf{Решение}$:

$$\begin{cases} 2a = 3b + c\\ 5b= 3a+c \end{cases}$$

$a$-золотые, $b$-серебряные, $c$- медные монеты.
Из системы получил соотношение $\frac{8}{5}b:b:\frac{b}{5}$, выразив золотые и медные монеты через серебряные.
И составил уравнение
$xb=yb+\frac{b}{5}\cdot50$
$x-y=10$ у меня получилось ответом.
$x$-было серебряных монет, y- стало серебряных монет.
Правильны ли мои рассуждения?

[mihaild]

Ivan 09 в сообщении #1692398 писал(а):

$a$-золотые, $b$-серебряные, $c$- медные монеты

В какой момент?

[Ivan 09]

mihaild в сообщении #1692399 писал(а):

В какой момент?

На протяжении всего обмена, $b$- так для себя обозначил серебряные монеты, они у меня в конце и сократились. Может не совсем удачная запись.
Я перевел "стоимость" золотых и медных монет в "стоимость" серебряных. Использовал тот факт, что золотые монеты не используются, а стоимость медных можно заменить на стоимость как раз серебряных. Если $x$ было серебряных монет, а $y$-стало. То как раз разница $x-y$ -количество, на которое уменьшилось число серебряных монет. Я сам сомневаюсь в корректности рассуждений и записи, поэтому и решил спросить, можно ли так делать.

[mihaild]

Нет, нельзя. Нет же никакой "стоимости", а число монет со временем меняется, и нельзя разные величины обозначать одной буквой.
Если очень хочется ввести какой-то инвариант, не меняющийся при обмене - это можно сделать, но нужно делать явно.
ИМХО проще всего (для целей ЕГЭ) ввести переменные для числа обменов первого и второго типов, и написать уравнения на них.

[Ivan 09]

mihaild
Спасибо Вам за ответы. Нужно время, чтобы разобраться и сформулировать вопросы точнее, если они появятся.

[EUgeneUS]

Вы настолько безобразно оформили решение, что пришлось долго думать, что же в нём происходило.

Вы сделали два очень сильных предположения:
1. Что у монет есть (можно ввести) стоимость.
2. Что при обменах эта стоимость сохраняется. (UPD: т.е. происходит обмен наборами монет одинаковой стоимости).

Совершенно случайно это оказалось так в условиях задачи.

Но задачу можно переформулировать таким образом:

• за $2$ золотые монеты получить $3$ серебряные;
• за $5$ серебряных монет получить $3$ золотые;
• всего обменов было $50$

И Ваши рассуждения рассыпаются. А ожидаемый метод решения продолжает давать верный ответ.

-- 26.06.2025, 18:10 --

mihaild в сообщении #1692404 писал(а):

Если очень хочется ввести какой-то инвариант, не меняющийся при обмене - это можно сделать, но нужно делать явно.

В оригинальных условиях такой инвариант ввести можно, но это случайно так получилось.

Ivan 09
Если вводить такой инвариант, то удобно в его качестве взять сумму денег у Николая, выраженную в "эквивалентном" количестве медных монет (то есть положить $c=1$).

В модифицированных условиях (см. выше) такого инварианта ввести нельзя - Николай при обменах теряет деньги.

[Ivan 09]

EUgeneUS в сообщении #1692407 писал(а):

Вы настолько безобразно оформили решение, что пришлось долго думать, что же в нём происходило.

Буду стараться постепенно улучшать навыки в оформлении решений и вопросов. Согласен с Вами, надо чётче формировать свои идеи.

EUgeneUS в сообщении #1692407 писал(а):

Совершенно случайно это оказалось так в условиях задачи.

Я исходил из конкретной задачи, и не совсем понимаю, почему сошлось случайно по Вашему мнению.

EUgeneUS в сообщении #1692407 писал(а):

задачу можно переформулировать таким образом:

Если Вас не затруднит, напишите полностью условие задачи, я постараюсь решить.

EUgeneUS в сообщении #1692407 писал(а):

В оригинальных условиях такой инвариант ввести можно, но это случайно так получилось.

Повторюсь, я исходил только из этой(конкретной) задачи. Я давно не касался этих тем. Решил посмотреть вариант и попробовать свои силы.

EUgeneUS
Спасибо за участие в теме.

[mihaild]

Ivan 09 в сообщении #1692415 писал(а):

Я исходил из конкретной задачи, и не совсем понимаю, почему сошлось случайно по Вашему мнению.

Потому что в данном случае можно ввести стоимость золотых, серебряных и медных монет в тугриках так, что обмен не меняет капитал, выраженный в тугриках. Но в общем случае это невозможно.

[EUgeneUS]

Ivan 09 в сообщении #1692415 писал(а):

почему сошлось случайно по Вашему мнению.

Потому что небольшая модификация условий приводит к тому, что Ваши рассуждения рассыпаются. Хотя и работают в оригинальных условиях.

Ivan 09 в сообщении #1692415 писал(а):

Если Вас не затруднит, напишите полностью условие задачи, я постараюсь решить.

Написал же. Но повторю с формулировкой вопроса.

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за $2$ золотые монеты получить $3$ серебряные;
• за $5$ серебряных монет получить $3$ золотые;

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, а всего обменов было $50$. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

[Mihr]

Ivan 09, хочу Вам дать небольшой совет по поводу задач такого типа. Обратите внимание на выделенные фрагменты условия:

Ivan 09 в сообщении #1692398 писал(а):

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за $2$ золотые монеты получить $3$ серебряные и одну медную;
• за $5$ серебряных монет получить $3$ золотые и одну медную.

То есть,
- медные монеты никогда не исчезают
- при обмене любого типа появляется ровно одна медная монета.
А теперь ещё посмотрим на условие

Ivan 09 в сообщении #1692398 писал(а):

У Николая были только серебряные монеты.

Значит, изначально у Николая медных монет не было. Становится ясно, что в любой момент времени текущее количество медных монет у Николая является индикатором (или, если хотите, счётчиком) числа проведённых им операций обмена. Это сразу же упрощает решение задачи.

Конкретно в данном случае имеем: после всех обменов у Николая оказывается 50 медных монет. Значит, он совершал обмен 50 раз.
Пусть $x$ - число обменов 1-го типа. Тогда $50-x$ - число обменов 2-го типа.
Далее, пусть $u$ - начальное количество серебряных монет, $v$ - их конечное количество.
Количество золотых монет, как начальное, так и конечное, равно нулю. Значит, имеем систему уравнений:

$$\begin{cases} 0 -2x+3(50-x)=0\\ u+3x-5(50-x)=v \end{cases}$$

Из первого уравнения определяем $x$, подставляем его значение во второе уравнение, находим значение разности $u-v$. Это и есть искомая величина.

-- 26.06.2025, 19:43 --

EUgeneUS в сообщении #1692407 писал(а):

Совершенно случайно это оказалось так в условиях задачи.

Справедливости ради: случай, когда это не так, является вырожденным. Так что о случайности говорить можно (случайно у нас оказался невырожденный случай), но вот "совершенно случайно", - это уже преувеличение, по-моему.

[EUgeneUS]

Mihr

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1692428 писал(а):

Справедливости ради: случай, когда это не так, является вырожденным. Так что о случайности говорить можно (случайно у нас оказался невырожденный случай), но вот "совершенно случайно", - это уже преувеличение, по-моему.

Конечно, если подумать о процессе придумывания задач, то случай в оригинальных условиях будет совершенно неслучайным.
А если подумать о том, что обменники в ноль не работают, то возможность ввести инвариант оказывается совершенно случайной.

[Mihr]

(EUgeneUS)

EUgeneUS, то, что "обменники в ноль не работают" - понятно. Но это не имеет отношения к сказанному мной. Я говорю лишь о математическом содержании задачи.
Имеем систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными. То есть, имеем уравнения двух плоскостей. Случай, когда плоскости оказываются параллельными, является вырожденным. Если выбирать коэффициенты уравнений случайно, то в подавляющем большинстве случаев плоскости окажутся не параллельными. В условиях же данной задачи параллельность вообще невозможна, так как плоскости имеют общую точку (обе они проходят через начало координат).

И Ваш контрпример выглядит, по мне, довольно странно. Получается, что медные монеты в обмене вообще не участвуют. Тогда откуда они могли бы появиться? Если это задача без медных монет, то это уже другая задача, совсем уж упрощённая. А если это всё же задача с медными монетами, то рассыпаются не рассуждения ТС, а сам контрпример.

[EUgeneUS]

Mihr

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1692438 писал(а):

Если выбирать коэффициенты уравнений случайно,

А почему Вы считаете, что моя ремарка про "совершенно случайно" относилась к случайному выбору коэффициентов уравнений?

В моих комментариях вообще не шла речь, о коэффициентах в системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Mihr в сообщении #1692438 писал(а):

Получается, что медные монеты в обмене вообще не участвуют.

В моем примере - да.

Mihr в сообщении #1692438 писал(а):

Если это задача без медных монет, то это уже другая задача, совсем уж упрощённая.

Это другая задача, но немного другая задача. Ибо метод с принятием за неизвестные количества обменов первого и второго типа сработает в обоих вариантах, и даст один и тот же ответ. А метод с построением инварианта сработает только в первом случае.

Вот ещё один вариант:
1. В случае первого типа обмена клиенту выдается медная монетка.
2. А случае второго типа обмена клиенту выдается бумажка.
3. Известно, что в начале у клиента не было ни медных монеток, ни бумажек. А в конце суммарное количество медных монеток и бумажек - $50$

Если в первом примере попытка построить инвариант утыкается в несовместную систему. Но теперь система будет неопределенной.

[EUgeneUS]

Mihr

(Оффтоп)

Требуются уточнения к моему вчерашнему тексту

EUgeneUS в сообщении #1692441 писал(а):

В моих комментариях вообще не шла речь, о коэффициентах в системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Выражая стоимость "активов" в "тугриках" мы действительно получаем систему из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными.
Однако, (при некоторой аккуратности) мы можем не привлекать тугрики, а выразить стоимость "активов" через один из них.
Тогда получаем систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Собственно, это и предлагал делать, положив $c=1$

EUgeneUS в сообщении #1692441 писал(а):

Если в первом примере попытка построить инвариант утыкается в несовместную систему.

Строго говоря, в совместную, но с нулевым решением $(0,0)$. Это указывает, что в данном случае стоимость "во всеобщем эквиваленте" ввести нельзя.