О $\varepsilon$-окрестности кривой, граница которой связна

[KhAl]

Evgenii2012
Решётка с шагом $d$ состоит из точек, координаты которых делятся на $d$ нацело. Ещё её можно назвать координатной сеткой с шагом $d$.

Клеточное разбиение пространства это разбиение пространства на открытые клетки. Открытой клеткой я называю открытый гиперкуб, рёбра которого параллельны осям координат и соединяют соседние узлы решётки (размерность этого гиперкуба не обязана совпадать с размерностью пространства), а замкнутой клеткой — замыкание открытой клетки.

[Evgenii2012]

KhAl Спасибо, буду разбираться. Однако, если координаты решётки делятся нацело, то, значит, все они должны быть целыми числами? Тогда маленьких кубов мы не получим, а это значит, что при некоторых $\varepsilon>0$ соотношения $\overline{G_{\varepsilon}}\subset D$ $d(\gamma, \partial G_{\varepsilon})<\varepsilon$ будут нарушаться. Можно, конечно, применить сжатие в случае необходимости

[KhAl]

Evgenii2012 в сообщении #1691368 писал(а):

Однако, если координаты решётки делятся нацело, то, значит, все они должны быть целыми числами?

Нет. Одно нецелое число может делиться нацело на другое нецелое число, а шаг решётки мы вольны выбирать достаточно маленьким.

[Evgenii2012]

[/quote]
А что, в $ \mathbb R^n$ это не так?[/quote]

Padawan, если Вы знаете, почему это так, то подскажите ссылку или приведите доводы. Это в разы бы всё упростило, разумеется. На плоскости данное явление, кажется, известно, как "теорема Антуана". Но пространственный аналог такого результата мне, к сожалению, неизвестен

[dgwuqtj]

Padawan в сообщении #1691365 писал(а):

А что, в $ \mathbb R^n$ это не так?

Вроде дикие узлы будут контрпримером в $\mathbb R^3$.

[Evgenii2012]

dgwuqtj, для "моих" целей было бы достаточно обойтись ломаной. Что изменится в ответе на этот вопрос, если кривую заменить на ломаную (в случае позитивного ответа, есть ли обоснование?)

[KhAl]

Evgenii2012
Так в случае ломаной всё очевидно!

Можно по очереди убирать звенья ломаной — для крайнего звена ломаной найти автогомеоморфизм пространства, который кривую переводит в кривую, из которой выкинули это звено, и повторять, пока ломаная не станет отрезком.

Для шага этого процесса нужно перейти в достаточно малую окрестность звена, которое мы хотим убрать, — тогда все звенья, кроме двух, будут лежать целиком вне этой окрестности. И в зависимости от размерности пространства и угла между прямыми можно явно выписать автогомеоморфизм этой окрестности, тождественный на границе, который убивает лишнее звено; а автогомеоморфизм пространства склеивается из этого автогомеоморфизма окрестности и тождественного отображения на дополнении к окрестности.

[Padawan]

dgwuqtj в сообщении #1691378 писал(а):

Вроде дикие узлы будут контрпримером в $\mathbb R^3$.

Да, точно! Дополнение будет не односвязно.

[dgwuqtj]

Evgenii2012
Вы можете прочитать про кусочно-линейные многообразия. Например, Rourke, Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology.

[Evgenii2012]

Благодарю KhAl,Padawan, dgwuqtj за обсуждение и полезные советы. Полученная информация нуждается в обработке

[Утундрий]

(Оффтоп)

dgwuqtj в сообщении #1691429 писал(а):

кусочно-линейные многообразия

Это что-то вроде "исчисления Редже"?