О $\varepsilon$-окрестности кривой, граница которой связна

[Evgenii2012]

Пусть $\gamma:[0, 1]\rightarrow D$ -- жорданова кривая (= кривая без самопересечений) в ${\Bbb R}^n,$ $n\geqslant 2,$ где $D$ - область в ${\Bbb R}^n.$ Можно ли для любого $\varepsilon>0$ указать область $G=G_{\varepsilon}$ такую, что $\overline{G_{\varepsilon}}$ -- компакт в $D,$ при этом, граница области $G_{\varepsilon}$ связна и ${\rm dist} (\gamma, \partial G_{\varepsilon})<\varepsilon$ ?

Геометрически существование подобной конструкции кажется очевидным. Есть проблемы с обоснованием, особенно при $n>2$.

[KhAl]

Из этой конструкции сразу следует, что жорданова кривая не разделяет область. У этого факта есть очевидные доказательства?

По модулю этого факта можно так строить (примерно):
Взять у кривой любую окрестность, граница которой имеет конечное число компонент связности, и выкинуть из этой окрестности несколько дуг, соединяющих заданную точку окрестности со всеми компонентами связности границы.

[Evgenii2012]

Спасибо за ответ, но интересует строгое доказательство или ссылка на результат. Наводящие соображения понятны, однако, выкидывание дуг - это проходит в лучшем случае на плоскости.
Жорданова кривая не разделяет область: в ${\Bbb R}^n$ при $n\geqslant 3$ как замкнутое множество, топологическая размерность которого не больше $n-2.$ На плоскости можно показать, что существует гомеоморфизм плоскости на плоскость, переводящий жорданову кривую в отрезок прямой

[KhAl]

Выкидывание дуг проходит в любой размерности —
надо взять какую-то окрестность кривой (скажем, она будет конечным объединением кубов — тогда компонент связности границы конечное число), затем взять у этой окрестности две любые компоненты связности границы. Провести кривую (для простоты — ломаную), которая соединяет эти две компоненты связности, и внутренность которой лежит в окрестности, и выкинуть из окрестности. Тогда граница увеличится в точности на эту кривую, а число компонент связности границы уменьшится на один. Продолжать, пока граница не станет связной.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за рекомендацию. Мне в целом понравилась схема, хотя один момент может оказаться довольно сложным: как гарантировать наличие такой дуги именно в окрестности, да и ещё так, чтобы она не пересекала исходную кривую? Всё-таки наличие дуги более-менее очевидно, так как покрытие связного множества, вероятно, можно выбрать связным, а все границы кубов - достижимы изнутри окрестности. Но почему есть данные дуги, не пересекающие данную (исходную) кривую?

[KhAl]

Потому что дополнение области до исходной кривой связно, как я предположил (но не доказал).

[dgwuqtj]

KhAl в сообщении #1691240 писал(а):

Потому что дополнение области до исходной кривой связно, как я предположил (но не доказал).

Хатчер, Алгебраическая топология, 2B.1(a).

[mihaild]

KhAl в сообщении #1691240 писал(а):

Потому что дополнение области до исходной кривой связно

Нужна же не просто связность, а линейная? (так что, видимо, придется еще доказывать, что они для открытых множеств равносильны)

[Evgenii2012]

Меня смущает в этой схеме, что наличие окрестности кривой, имеющей конечное число компонент связности своей границы, мы считаем очевидным. Скажем, если есть объединение всего лишь двух кубов, то объединение их, если они пересекаются, будет связным множеством. Будет ли связной граница этого объединения? Вроде да, и это на уровне очевидного. Но именно это "очевидное" и представляет некую сложность, так как мне, например, не ясно, откуда следует, что компонент границы объединения двух кубов будет не больше двух. Почему это так? Кто может объяснить, почему граница объединения двух кубов имеет не более двух компонент связности?

[dgwuqtj]

Граница объединения конечного набора выпуклых многогранников триангулируется (разбивается на точки, отрезки без концов и треугольники без границы), так что в ней компонент связности не больше, чем кусочков разбиения.

[KhAl]

Проще так: если рёбра кубов параллельны осям координат, а вершины кубов находятся в узлах решётки с заранее выбранным маленьким шагом, то граница составлена из квадратов с вершинами в узлах решётки. Это можно руками показать.

[Evgenii2012]

KhAl и dgwuqtj, спасибо за Ваше мнение, но хотелось бы получить более строгое обоснование. Опять же, подобные рассуждения можно назвать наводящими соображениями, но я далеко не уверен, что хотя бы одно из них приведёт к обоснованию на общедоступных принципах математической строгости. Хотел бы напомнить: речь идёт о пространствах любой размерности, а не только $n=3$

[KhAl]

Рассмотрим клеточное разбиение пространства, построенное по решётке с маленьким шагом в этом пространстве.

В качестве дополнения к окрестности кривой возьмём объединение всех замкнутых клеток, не пересекающих кривую. Лемма: если точка лежит на границе, то содержащая эту точку открытая клетка лежит на границе. Тогда граница окрестности кривой это конечное объединение открытых клеток, а оно состоит из конечного числа компонент связности.

Полученная окрестность связна: она состоит из кривой и некоторого числа открытых клеток, каждая из которых касается кривой.

[Evgenii2012]

KhAl, спасибо, но для того, чтобы я глубже вник в доказательство, Вы не могли бы уточнить, что Вы называете: 1) клеточным разбиением пространства, 2) решёткой и шагом решётки?

[Padawan]

Evgenii2012 в сообщении #1691233 писал(а):

На плоскости можно показать, что существует гомеоморфизм плоскости на плоскость, переводящий жорданову кривую в отрезок прямой

А что, в $ \mathbb R^n$ это не так?