Про касательные объекты

[Without Name]

В математическом анализе дается понятие касательной к кривой. В алгебраической геометрии есть понятие касательного пространства. А какие применения есть у касательной к кривой и у касательного пространства? Мне очень интересно, для каких приложений это придумано.

[drzewo]

Without Name в сообщении #1688671 писал(а):

В алгебраической геометрии есть понятие касательного пространства.

почему в алгебраической? это общее понятие теории гладких многообразий. Касательная к кривой -- частный случай. Эти понятия и тензоры и еще много чего выражают общую идею: описания глобальных нелинейных объектов с помощью инфинитезимальных линейных.

[KregSeptim]

Например, касательное пространство состоит из точечных дифференцирований алгебры гладких функций на многообразии; последняя, в свою очередь, кодирует гладкую структуру многообразия. Все вместе это называется "изучать глобальное локальным".

[dgwuqtj]

А вам алгебраическая геометрия вообще для каких целей нужна? Там касательное пространство обычно возникает при определении гладкости или изучении особых точек. Гладкие алгебраические многообразия (и схемы) нужны, потому что это такой хороший класс многообразий, похожий на гладкие многообразия из дифференциальной геометрии.

В дифференциальной геометрии касательное пространство используется для дифференциального исчисления на многообразиях, решения дифференциальных уравнений, определения римановой метрики, определения симплектической структуры, конструкции алгебры Ли по группе Ли и т.д.

[Without Name]

Да просто интересуюсь понемногу, что есть в математике. Ни для каких целей. Спасибо :)