Разбиение выпуклого многогранника на тетраэдры

[Mathgames]

Доказательство существования объёма обычно опирается на разбиение на тетраэдры. Для этого надо доказать, что такое разбиение возможно для любого выпуклого многогранника. Обычная идея здесь состоит в том, чтобы взять какую-нибудь внутреннюю точку этого многогранника и соединить её с гранями многогранника, разбив его на пирамиды, а затем каждую из этих пирамид можно разбить на тетраэдры, предварительно разбив их основания на треугольники. Однако для корректности этого доказательства надо доказать три вещи:
1) Что пирамиды разбиения не имеют общих внутренних точек.
2) Что все точки пирамид разбиения принадлежат исходному многограннику.
3) Любая точка многогранника принадлежит какой-нибудь пирамиде разбиения или её границе.
Доказательство этих трёх фактов для разбиения пирамиды на тетраэдры вполне доступно. А вот доказательство для разбиения многогранника на пирамиды основания которых совпадают с гранями многогранника, мне найти не удалось. Возможно кто-то знает где его найти или как его провести.

Аналогичный вопрос ставился вот здесь: https://math.stackexchange.com/question ... trahedrons
и там тоже не было ответа

UPD. Вопрос касается трёхмерного пространства.

[drzewo]

Mathgames в сообщении #1687917 писал(а):

Доказательство существования объёма обычно опирается на разбиение на тетраэдры.

Нет, конечно. Изучите раздел <<кратные интегралы >> по учебнику матана.

[dgwuqtj]

Так а в чём проблема с доказательством? Пусть $O$ внутренняя точка многогранника. Любая другая точка $P$ лежит на отрезке с концами в $O$ и на границе (если пересечь луч $OP$ с границей), так что эти пирамиды покрывают многогранник. Второе свойство следует из того, что каждая пирамида — это выпуклая оболочка $O$ и некоторой грани, т.е. подмножества многогранника.

[Mathgames]

drzewo в сообщении #1687919 писал(а):

Mathgames в сообщении #1687917 писал(а):

Доказательство существования объёма обычно опирается на разбиение на тетраэдры.

Нет, конечно. Изучите раздел <<кратные интегралы >> по учебнику матана.

Я сейчас говорю о решение вопроса в трёхмерном пространстве.

[Sender]

dgwuqtj в сообщении #1687922 писал(а):

Любая другая точка $P$ лежит на отрезке с концами в $O$ и на границе (если пересечь луч $OP$ с границей)

Отсюда, кстати, легко получить и доказательство первого пункта. Допустим, у некоторых двух пирамид разбиения имеется внутренняя общая точка $P$. Проведём через неё луч $OP$. Он обязан проходить через внутреннюю точку грани, соответствующей первой пирамиде, и через внутреннюю точку другой грани, соответствующей второй пирамиде. Но это невозможно в силу выпуклости исходного многогранника.

[drzewo]

Mathgames в сообщении #1687926 писал(а):

Я сейчас говорю о решение вопроса в трёхмерном пространстве.

и что?

[dgwuqtj]

Mathgames в сообщении #1687926 писал(а):

Я сейчас говорю о решение вопроса в трёхмерном пространстве.

Тут рассуждения от размерности не зависят, если знать определения в общем виде.

[Mathgames]

dgwuqtj в сообщении #1687942 писал(а):

Mathgames в сообщении #1687926 писал(а):

Я сейчас говорю о решение вопроса в трёхмерном пространстве.

Тут рассуждения от размерности не зависят, если знать определения в общем виде.

Вопрос о решении в частном случае, без обобщения до меры.

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1687922 писал(а):

Так а в чём проблема с доказательством? Пусть $O$ внутренняя точка многогранника. Любая другая точка $P$ лежит на отрезке с концами в $O$ и на границе (если пересечь луч $OP$ с границей), так что эти пирамиды покрывают многогранник. Второе свойство следует из того, что каждая пирамида — это выпуклая оболочка $O$ и некоторой грани, т.е. подмножества многогранника.

кстати, необязательно чтобы многогранник был выпуклым, достаточно чтобы он был звездным относительно $O$

-- 29.05.2025, 00:06 --

т.е. любой луч выпущенный из точки $O$ пересекает границу многогранника в единственной точке

[Geen]

drzewo в сообщении #1687946 писал(а):

кстати, необязательно чтобы многогранник был выпуклым, достаточно чтобы он был звездным относительно $O$

Для разбиения на тетраэдры даже это не нужно.

[Mathgames]

Всем спасибо за пояснения, я понял как это можно аккуратно доказать.