Предел сложной функции

[Gecko]

Теорема о пределе сложной функции. Пусть заданы функции: $y: \mathring U_{\delta_0}(x_0) \to \mathbb{R}$ и $f: \mathring U_{\beta_0}(y_0) \to \mathbb{R}$, пусть $\lim\limits_{x \to x_0}{y(x)} = y_0\in \overline{\mathbb{R}}$, $\lim\limits_{y \to y_0}{f(y)} = A\in \overline{\mathbb{R}}$ и пусть выполнено хотя бы одно из следующих дополнительных условий:
(а) $\forall x \in \mathring U_{\delta_0}(x_0) \ y(x) \ne y_0$ или
(б) $f(y_0) = A $ (т.е. функция $f$ непрерывна в точке $y_0$).
Тогда сложная функция $\varphi(x) = f(y(x))$ определена в некоторой $\mathring U_{\delta}(x_0)$ и $\exists\lim\limits_{x \to x_0}f(y(x)) = \lim\limits_{y \to y_0}f(y) = A$.

Интересно, возможна ли ситуация, когда условия (а) и (б) не выполнены, но заключение теоремы истинно. Не могу подобрать пример.

[dgwuqtj]

Пусть $f$ непрерывна в $y_0$ только слева и $y(x) \leq y_0$...

[Gecko]

dgwuqtj в сообщении #1686188 писал(а):

Пусть $f$ непрерывна в $y_0$ только слева и $y(x) \leq y_0$...

Но ведь по условию $f$ имеет предел в $y_0$.

[mihaild]

В такой формулировке - очевидно да. Потому что для нарушения (a) достаточно, чтобы $y(x) = y_0$ где-то далеко.
Если же усилить отрицание (а) - потребовать, чтобы в любой окрестности $U(x_0)$ был $x$ такой что $y(x) = y_0$, то нет. Потому что $f(y_0) \neq A$, но сколь угодно близко к $x_0$ есть $x$ такие что $y(x) = y_0$, соответстенно $f(y(x)) \neq A$, соответственно $\lim \limits_{x \to x_0} f(y(x)) \neq A$.