Дифференцирование функции комплексного переменного

[OlgaD]

Возник вопрос по вычислению производных функции одного комплексного переменного. Меня интересуют случаи сложной, обратной и неявной функции. Пожалуйста, помогите разобраться.
Например, если у меня есть неявная функция $F(z,w(z))=0,$ как будет выглядеть ее производная по $z?$

[Red_Herring]

OlgaD в сообщении #1683242 писал(а):

как будет выглядеть ее производная по

В точности так же, как в случае функции вещественного переменного (предполагается, что все функции аналитические)

[OlgaD]

Т.е., хотите сказать, что $w'(z)=-F'_z/F'_w?$ А какие условия тогда накладываются на соответствующие функции?

[пианист]

Вещественная и мнимая части $F$ будут удовлетворять условиям Коши-Римана, как по вещественной и мнимой частям $z$, так и по вещественной и мнимой частям $w$.
Если я правильно понял вопрос.

[OlgaD]

Предположим, что мы отказались от требования голоморфности для функций $f$ и $g.$ Пусть они принадлежат классу $C^1.$ Тогда я не совсем понимаю как здесь применяется "цепное правило" для их композиции $g\circ f.$ В Википедии есть формулы

$$\frac{\partial}{\partial z}(f\circ g)=\left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial z}+\left(\frac{\partial f}{\partial\bar z}\circ g\right)\frac{\partial\bar g}{\partial z}$$

$$\frac{\partial}{\partial\bar z}(f\circ g)=\left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial\bar z}+\left(\frac{\partial f}{\partial\bar z}\circ g\right)\frac{\partial\bar g}{\partial\bar z}$$

Я не совсем понимаю, как они выводятся. Пожалуйста, помогите разобраться.

[Padawan]

По определению $df(z)=f_z(z)dz+f_{\bar{z}}(z)d\bar z$.
Поэтому

$$df(g(z)) =f_z(g(z)) dg(z) +f_{\bar z}(g(z)) d\bar g(z) $$

.
Подставьте сюда $dg(z) $ и $d\bar g(z) $ и сгруппируйте слагаемые с $dz$ и $d\bar z$.

[Red_Herring]

OlgaD в сообщении #1683838 писал(а):

Предположим, что мы отказались от требования голоморфности для функций

В таком случае у вас нет ТФКП. Тем не менее, определены $\frac{\partial}{\partial z}$ и $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$ (через обычные $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial y}$) и вам следует просто все расписать. Ничего содержательного здесь нет, просто формальные преобразования

[OlgaD]

Red_Herring в сообщении #1683841 писал(а):

OlgaD в сообщении #1683838 писал(а):

Предположим, что мы отказались от требования голоморфности для функций

В таком случае у вас нет ТФКП.

У нас остаются дифференцируемые комплекснозначные функции. Если я разберусь с дифференцированием этих функций, мне проще будет перейти к работе с голоморфными функциями.

-- 26.04.2025, 20:34 --

Padawan в сообщении #1683840 писал(а):

По определению $df(z)=f_z(z)dz+f_{\bar{z}}(z)d\bar z$.
Поэтому

$$df(g(z)) =f_z(g(z)) dg(z) +f_{\bar z}(g(z)) d\bar g(z) $$

.
Подставьте сюда $dg(z) $ и $d\bar g(z) $ и сгруппируйте слагаемые с $dz$ и $d\bar z$.

Не могли бы Вы пояснить, откуда выскакивает $d\bar g(z)?$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1683843 писал(а):

Не могли бы Вы пояснить, откуда выскакивает $d\bar g(z)?$

Это подставили $g(z)$ вместо $z$ внутри $d \bar z$.

[OlgaD]

Вроде все встало на свои места. Если я правильно, понимаю, то если теперь $f$ и $g$ --- голоморфные функции, то есть $\partial f/\partial\bar z=0$ и $\partial g/\partial\bar z=0,$ у нас остается

$$\frac{\partial}{\partial z}(f\circ g)=\left(\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial z}.$$