Слабая ограниченность

[Padawan]

(задачник Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А. Задачи по функциональному анализу. Москва, МЦНМО,2017)
Тут же надо требовать полноту пространства $X$? Контрпример: $X=c_{00}$ (пространство финитных последовательностей с sup-нормой), последовательность функционалов $f_n(x)=nx_n$ $*$-слабо сходится к нулевому функционалу, но по норме неограничена.

А тут правильное утверждение. Потому что сначала теорему Банаха-Штейнгауза можно применить к семейству функционалов $\{Ax\}_{A\in\mathcal M}\subset Y^{\ast\ast}$ на банаховом пространстве $Y^\ast$, получим $\|Ax\|_Y<C(x)$ для всех $x\in X$. А потом просто теорему Б.-Ш.

Я прав? Нигде не глючу?

[thething]

Padawan в сообщении #1682325 писал(а):

Я прав? Нигде не глючу?

По-моему, вы правы, и первое утверждение тоже получается, как следствие теоремы Банаха-Штейнгауза.

[drzewo]

Любопытно было бы посмотреть на доказательство ограниченности в первой задаче. Для банахова случая, конечно

[Padawan]

thething в сообщении #1682356 писал(а):

как следствие теоремы Банаха-Штейнгауза.

drzewo в сообщении #1682361 писал(а):

Любопытно было бы посмотреть на доказательство ограниченности в первой задаче. Для банахова случая, конечно

Так это же теорема Б.-Ш. в чистом виде. На банаховом пространстве семейство функционалов ограничено на любом векторе. Значит, это семейство ограничено по норме.
(А, это ирония была, видимо)
Вообще, задачник классный.

[drzewo]

Pardon что-то меня переклинило