Задача на диэлектрик с неоднородной поляризацией

[tupoy_vopros]

Задача
При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид $\mathbf{P} = \mathbf{P_0} (1-\frac{x^2}{d^2})$, где $P_0$ - вектор, перпендикулярный к пластине, $x$ - расстояние от середины пластины, $d$ - ее полутолщина. Найти напряженноть электрического поля внутри пластины.
Ответ.
$\mathbf{E} = \frac{\mathbf{P_0}}{\varepsilon_0} (1-\frac{x^2}{d^2})$
Проблема
Если выделить в середине пластины симметрично цилиндрическую поверхность, и используя теорему Гаусса для вектора $\mathbf{D}$ мы не сможем найти вектор $\mathbf{D}$, а он должен быть равен нулю. Т.к. вектор напряженности везде направлен в одну сторону, то поток как ни крути будет равен просто $DS-DS = 0$ и $\mathbf{D}$ отсюда не найти, в отличии например от ситуации с равномерно заряженной плоскостью, когда вектор направлен в разные стороны.
Можно установить лишь то что $ D = \operatorname{const}$
Как решить задачу ?

[amon]

tupoy_vopros в сообщении #1679909 писал(а):

Как решить задачу ?

Во-первых, в ответе, как мне кажется, ошибка в знаке.
Во-вторых, $\operatorname{div}\mathbf{D}=4\pi\rho_\text{свободных зарядов}$
В третьих, $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi\mathbf{P}.$

[tupoy_vopros]

amon
1) Да, ошибся когда переписывал
2) $div D = \rho = 0$
Зависимости от y и z в силу симметрии задачи нет, поэтому $\frac{d D}{d x} = 0$, поэтому $ D = \operatorname{const}$

tupoy_vopros в сообщении #1679909 писал(а):

Можно установить лишь то что $ D = \operatorname{const}$

3) $E = \operatorname{const} -\math{P_0}(1-x^2/d^2)$
Как-то нужно доказать что константа 0

[amon]

tupoy_vopros в сообщении #1679941 писал(а):

Как-то нужно доказать что константа 0

Система не меняется при отражении относительно плоскости $x=0.$ $\mathbf{D}$ - вектор, одинаковый во всем пространстве. Куда он направлен в этой плоскости?

[tupoy_vopros]

amon
Не уверен в такой аргументации
Я так понял что $-D = D$ отсюда $D = 0$, но например вектор $\mathbf{P}$ везде имеет одно направление и ему нормально. Я не уверен что система действительно не меняеться при отражении. Тут есть выделенное направление.

[amon]

tupoy_vopros в сообщении #1679947 писал(а):

Не уверен в такой аргументации

Да, по-простому не получается. Придется подключать артиллерию среднего калибра. Плотность заряда
$\rho=-\operatorname{div}\mathbf{P}=\frac{2x}{d^2}$
$\int\limits_{-d}^{d}\rho(x)dx=0$
Считаем, что поле равномерно заряженной плоскости нулевой толщины есть
$E_x(x)=2\pi\sigma\operatorname{sign}(x).$
Тогда поле пластины конечной толщины с распределенным в ней зарядом $\rho(x)$ будет
$E_x(x)=2\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sign}(x-x')\rho(x')dx'.$
Поскольку $\rho(x')=0$ при $|x'|>d,$ для $|x|>d$ интеграл сведется к
$E_x(x)=2\pi\operatorname{sign}(x)\int\limits_{-d}^{d}\rho(x')dx'=0.$

[palz]

Это задача из Иродова (№ 3.84 для 2001 г. издания). Свободных зарядов внутри пластины нет по условию задачи. Это значит, вследствие поляризации диэлектрика, пластину можно представить как совокупность равномерно заряженных плоскостей равными по модулю, но противоположными по знаку поверхностными плотностями зарядов (конечно, зависящими от координаты x$). Поскольку распределение плотности связанного заряда антисимметрично относительно 0, то отрицательно заряженные плоскости будут слева от 0, положительные - справа. Снаружи пластины поля этих плоскостей скомпенсируются, что и показано amonoм. О наличии свободных зарядов в пространстве, окружающем пластину, в условии ничего не говорится, поэтому считаем, что их нет. Теоретически можно представить себе, что свободные заряды находятся на бесконечности, иными словами пластина находится во внешнем однородном поле. И тогда D=\operatorname{const}$ и без знания этого поля E мы не найдем. Однако в задаче речь идет скорее всего о сегнетоэлектрике, в котором была создана неоднородная поляризация внешним неоднородным полем, которое затем выключили. Помещение его во внешнее однородное поле не даст нам такую неоднородную поляризацию, поэтому будем считать, что внешнего однородного поля нет и $D=0$.

[tupoy_vopros]

amon
palz
Появилось такое предположение, а в каких случаях $\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi \mathbf{E}$ ?
Если тут это выполняеться то константа должна быть 0

palz в сообщении #1679952 писал(а):

Однако в задаче речь идет скорее всего о сегнетоэлектрике,

Отмена. Для сегнетоэлектриков эта зависимость не линейная.

-- 26.03.2025, 12:15 --

amon
я не понимял зачем там $sign$

[chislo_avogadro]

tupoy_vopros в сообщении #1679909 писал(а):

поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид $\mathbf{P} = \mathbf{P_0} (1-\frac{x^2}{d^2})$,

Т.е. поляризация близ поверхностей пластины нулевая и свободных зарядов нет. Значит $\mathbf D$ вне пластины нулевая и на границе должна быть непрерывна. Это лишь мой взгляд на дело.

tupoy_vopros в сообщении #1679941 писал(а):

$div D = \rho = 0$

[tupoy_vopros]

amon
Ну смысл в целом понятен, Вы пытайтесь доказать что поле которое создает сама пластина, равна нулю вне ее.
А вообще по факту это кучка плоских конденсаторов вставленных один в один, так что да, поле вне пластины, создаваемое самой пластиной равно нулю.
А как насчет внешнего поля ? Нужно предполагать что его нет, как сказал palz ? И тогда пользуясь условием непрерывноссти D доказать что $D=0$
Вопрос еще в том, можно ли пользоваться условием непрерывности при наличии ненулевой плотности связаных зарядов.

-- 26.03.2025, 14:45 --

chislo_avogadro в сообщении #1679981 писал(а):

свободных зарядов нет

именно поверхностных нет, но плотность же есть. Поэтому вопрос
И как я понимаю, то что D снаружи 0 требует того что бы внешнего поля небыло.

[chislo_avogadro]

tupoy_vopros в сообщении #1679983 писал(а):

но плотность же есть.

Откуда она берётся?

[tupoy_vopros]

chislo_avogadro

amon в сообщении #1679950 писал(а):

$\rho=-\operatorname{div}\mathbf{P}=\frac{2x}{d^2}$

[amon]

tupoy_vopros в сообщении #1679983 писал(а):

А как насчет внешнего поля ?

По условию все поля создаются пластиной. Тогда формула $E_x(x)=2\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sign}(x-x')\rho(x')dx'$ дает напряженность поля везде, в том числе и внутри пластины. Можно просто сосчитать этот интеграл. Условие отсутствия постоянного внешнего поля заложено в поле бесконечно тонкой пластины $E_x(x)=2\pi\sigma\operatorname{sign}(x).$ На самом деле, это - функция Грина $G(x,x')$ одномерной задачи, также как поле точечного заряда - функция Грина трехмерной задачи. С ее помощью подсчет поля распределенного заряда сводится к взятию интеграла $\int G(x,x')\rho(x')dx'.$

[chislo_avogadro]

tupoy_vopros в сообщении #1679986 писал(а):

chislo_avogadro

amon в сообщении #1679950 писал(а):

$\rho=-\operatorname{div}\mathbf{P}=\frac{2x}{d^2}$

Но это ведь не свободные заряды?

[amon]

chislo_avogadro в сообщении #1679990 писал(а):

Но это ведь не свободные заряды?

И что? Поле $\mathbf{E}$ создается всеми зарядами.