Маятник

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1674480 писал(а):

а корня точно не должно быть ни где?

Тут все чисто.

[drzewo]

Да, я просто не обратил внимания на обозначение $\lambda^2$

[Ignatovich]

chislo_avogadro в сообщении #1674236 писал(а):

Разве $\omega_{1,2}$ не больше, чем $\omega_0$?

Да. Величины $a_{1,2}<0$ .
В числителе формулы для $\omega_m^2$ забыл написать модуль $|a_1+a_2|.
Проверил формулу для специального случая: легкого стержня с массами $m/3$ и такой же массой посередине. Получается $\omega_m^2=$\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{g}{L}$$
Хорошая задача. После первого прочтения кажется, что ее вообще решить нельзя.

-- 12.02.2025, 21:52 --

EUgeneUS в сообщении #1674456 писал(а):

Тут есть досадная неточность. Кто найдет?
А так-то подобная запись ответа, наверное, самая компактная.

Нашел: пропущен модуль в числителе. Вопрос, заданный chislo_avogadro помог!

[EUgeneUS]

Ignatovich в сообщении #1674515 писал(а):

Нашел: пропущен модуль в числителе.

Да верно. Иначе получается, что квадрат максимальной частоты оказывается отрицательным.

[EUgeneUS]

Кстаати!
Предложенное решение (а оно у всех примерно одинаковое) и ответ являются неполными.
Кто-нибудь найдет "пропущенный" случай?

З.Ы. Задача мне нравится всё больше и больше. Прям на много баллов при полном решении

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1674562 писал(а):

Предложенное решение (а оно у всех примерно одинаковое) и ответ являются неполными.
Кто-нибудь найдет "пропущенный" случай?

Нужно убедиться, что найденная ось, обеспечивающая максимальную частоту, проходит через стержень, а не выходит за его пределы. Я не анализировал.

[EUgeneUS]

Ignatovich
Я анализировал, но не строго.
Там всё чисто: при смещении в одну сторону от ц.м. можем (но не обязаны) вывалиться из стержня, а в другую - остаёмся в стержне заведомо.
Подвох в другом.

-- 13.02.2025, 08:57 --

Максимальная частота дастигается при смещении от ц.м. на т.н. "радиус инерции" (уважаемый ТС пользовался этим термином выше). И хотя бы в одну сторону этот радиус инерции попадет на стержень. Это почти очевидно.

[mihiv]

Для момента инерции $J$ получилось довольно сложное выражение, поэтому можно решить еще такую задачу: зная $\omega _1,\omega _2,$ найти простую верхнюю оценку для $J$. У меня получилось $J<\dfrac {mg^2}{4\omega _c^4}, \omega _c=\max (\omega _1,\omega _2)$.

[Утундрий]

Можно попытаться добавить третье извращение (измерительное вращение). Например, относительно середины.

[dovlato]

Утундрий в сообщении #1674584 писал(а):

Можно попытаться добавить третье извращение (измерительное вращение). Например, относительно середины.

Крутой была бы задача с плоским телом, подвешиванием в тёх точках с заданными координатами.. Но, боюсь, аналитически не решаемая.

[EUgeneUS]

dovlato
А что с дырой в предложенных выше ответах?
Будете искать?

[Утундрий]

dovlato в сообщении #1674629 писал(а):

задача с плоским телом, подвешиванием в тёх точках с заданными координатами..

...решается добавлением нити с грузиком.

[dovlato]

EUgeneUS в сообщении #1674631 писал(а):

dovlato
А что с дырой в предложенных выше ответах?
Будете искать?

Боюсь, это уже выше моих сил . Вообще, задача зажила своей жизнью, и её содержание вышло за границы того, что я предполагал.

-- Чт фев 13, 2025 19:53:45 --

EUgeneUS в сообщении #1674631 писал(а):

dovlato
А что с дырой в предложенных выше ответах?
Будете искать?

Боюсь, это уже выше моих сил . Вообще, содержание задачи вышло за границы того, что я предполагал.

[EUgeneUS]

1. $\omega_{1,2} > \omega_0$ - это не вся правда. Вот вся правда: $\omega_{1,2} \geqslant \omega_0$
2. Если $\omega_{1,2} = \omega_0$, то предоставленные выше ответы превращаются в тыкву - возникает неопределенность вида $0/0$
3. Случай $\omega_{1,2} = \omega_0$ - вполне легальный, это невесомая спица с точечными массами на концах, возможно, разными. И его нужно рассмотреть отдельно.
4. Проще всего напрямую посчитать $J_0$ и подставить в эту формулу: $\omega_{\text{max}}^2 = \frac{\omega_0^2}{2}\sqrt{\frac{mL^2}{J_0}}$

5. Получится:

$$\omega_{\text{max}}^2 = \omega_0^2 \cdot \frac{m_1+m_2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{m_1 m_2}} = \frac{\omega_0^2}{2} (\frac{1}{\sqrt{k}} + \sqrt{k})$$

где $m_{1,2}$ - массы на концах спицы, $k = \frac{m_1}{m_2}$
Выражение после первого знака "равно" - забавный факт, что $\omega_0^2$ умножается на отношение среднего арифметического и среднего геометрического масс.

-- 13.02.2025, 19:45 --

dovlato
Чудесная задача!

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1674631 писал(а):

А что с дырой в предложенных выше ответах?

EUgeneUS в сообщении #1674655 писал(а):

предоставленные выше ответы превращаются в тыкву - возникает неопределенность вида $0/0$

EUgeneUS в сообщении #1674655 писал(а):

Чудесная задача!

Ну так уж особенно-то возбуждаться не стоит. Выражение для $J$ было записано практически сразу, и ответ в его терминах был выложен тоже сразу. $J$ было представлено в виде произведения скобок, и школьнику ясно, что всевозможные обращения этих скобок в ноль надо рассматривать отдельно и интерпретировать. А то, что это не делалось еще не значит, что кроме Вас это ни кто не увидел:)