Атомизация

[OlgaD]

Я пытаюсь разобраться в конструкции "атомизации" по книге Ходженса Теория моделей. У меня возник вопрос.

Пусть у нас есть язык первого порядка $L.$ Мы переходим к новому языку $L^{\Theta},$ добавляя (как пишет Ходженс) к $L$ для каждой формулы $\varphi$ из $L$ символ отношения $R_{\varphi}.$ При этом утверждается, что мощности старого и нового языков равны.

Возможно, я немного "плаваю" в понимании мощности языка. Я знаю о том, что под мощностью языка понимается либо мощность его нелогических символов, либо мощность всех формул первого порядка данного языка. Но, если мы добавляем символы, разве мощность языка при этом не увеличивается?

[Anton_Peplov]

OlgaD в сообщении #1674003 писал(а):

либо мощность всех формул первого порядка данного языка

Множество формул первого порядка конечно или бесконечно?

[OlgaD]

бесконечно, я думаю

[Утундрий]

OlgaD в сообщении #1674048 писал(а):

бесконечно, я думаю

Бесконечно думать контрпродуктивно.

[dgwuqtj]

Если известна мощность $\lambda$ множества символов языка (конечной арности), то можно сразу сказать, какая мощность у множества формул: это $\max(\lambda, \aleph_0)$.

[OlgaD]

эта формула мне знакома, но пока не понимаю, как это связано с конструкцией атомизации

[dgwuqtj]

Вот если у вас был язык с $\lambda$ символов и $\max(\lambda, \aleph_0)$ формул, а к нему добавили ещё $\max(\lambda, \aleph_0)$ символов, то формул станет $\max(\lambda + \max(\lambda, \aleph_0), \aleph_0) = \max(\lambda, \aleph_0)$.

[OlgaD]

Возможно, формулу $\max(\lambda,\aleph_0)$ я осмыслила не полностью. Попробую переварить Вашу подсказку. Спасибо за помощь.

Поскольку изучаю все с нуля и самостоятельно, пробелы у меня есть существенные.

[dgwuqtj]

Есть такой общий факт: $\kappa + \lambda = \kappa \lambda = \max(\kappa, \lambda)$, если $\kappa$ и $\lambda$ кардиналы, причём хотя бы один из них бесконечный (кроме случая, когда второй нулевой, тогда произведение нулевое). Что касается количества формул, то формул фиксированной длины $n$ явно не больше $(\lambda + \aleph_0)^n$, где $\aleph_0$ отвечает за количество вспомогательных символов (логические связки, пробелы, кванторы, а также символы для переменных, которых не более чем счётное количество). А формул всех длин сразу не больше

$$\sum_{n = 0}^\infty (\lambda + \aleph_0)^n = \sum_{n = 0}^\infty (\lambda + \aleph_0) = \aleph_0 (\lambda + \aleph_0) = \max(\lambda, \aleph_0).$$

Снизу оценить тоже легко, разумеется.

[OlgaD]

С кардиналами, как и с ординалами, я не знакома совсем, в вузе об этом не рассказывали. Поэтому на данном этапе у меня серьезные проблемы с пониманием некоторых понятий теории моделей. Не могли бы Вы порекомендовать мне книгу, где это можно изучить, на языке доступном для новичка?

Что такое формула фиксированной длины $n?$

[dgwuqtj]

Начните с книжки Верещагин, Шень, Начала теории множеств, там все базовые вещи написаны. Формулы — это же строки из формальных символов, так? Бывают формулы длины $3$ (например, $x = y$), длины $6$ (например, $\neg(x < y)$), и так далее. Для каждой конкретной длины количество формул легко оценить сверху через количество вообще всех возможных строк, независимо от технических подробностей того, какие строки мы на самом деле считаем формулами.

[OlgaD]

Спасибо, буду изучать.

[Anton_Peplov]

OlgaD
Вы знаете, что такое мощность множества? Счетное множество?

[OlgaD]

С этими понятиями я, конечно, знакома.

[Anton_Peplov]

OlgaD
Навожу на мысль.
В латинском алфавите 25 букв. Какова мощность множества слов? Словом считаем любой набор из конечного числа букв.
В русском алфавите 33 буквы. Какова мощность множества слов?