Доказать, что предел равен числу

[Combat Zone]

Without Name в сообщении #1672485 писал(а):

Да, смешались. В учебнике понятие предела функции, вроде, еще не давалось.

Вы же его привели, как так?

[Dedekind]

Without Name
Верно. Теперь, как Вы и сказали, раскладываем на множители.

-- 02.02.2025, 17:36 --

Without Name в сообщении #1672485 писал(а):

Да, смешались. В учебнике понятие предела функции, вроде, еще не давалось.

Пролистал учебник, действительно, как-то все сумбурно написано. Возьмите и правда лучше Фихтенгольца, или, если нет проблем с английским, Stewart - Calculus: Early Transcendentals. Отличный учебник для инженеров с огромным количеством задач. К большинству есть решения.

[Without Name]

Решая уравнение под знаком модуля, можно получить его разложение на множители: $\left\lvert(x - 2)(x+6)\right\rvert < \varepsilon$

Модуль произведения равен произведению модулей: $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \varepsilon$

Известно, что $\left\lvert x - 2 \right\rvert < \delta$. Оценим вторую скобку: $\left\lvert x + 6\right\rvert = \left\lvert (x - 2) + 8 \right\rvert < \left\lvert x - 2 \right\rvert + 8$. Поэтому $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \delta (\delta + 8)$.

Получили, что $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \varepsilon$ и $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \delta (\delta + 8)$ и правые части можем приравнять: $\delta(\delta + 8) = \varepsilon$, $\delta^2 + 8\delta = \varepsilon$

Решать это уравнение или я где-то ошибся?

Что-то я напутал, сейчас разберусь.

[Someone]

Without Name в сообщении #1672497 писал(а):

Получили, что $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \varepsilon$ и $\left\lvert x - 2\right\rvert \cdot \left\lvert x + 6\right\rvert < \delta (\delta + 8)$ и правые части можем приравнять: $\delta(\delta + 8) = \varepsilon$, $\delta^2 + 8\delta = \varepsilon$

Решать это уравнение или я где-то ошибся?

Можно решить, но можно упростить себе задачу, заменив знак равенства знаком $<$ и произвольно предположив, что $0<\delta\leqslant 1$ и в $\delta^2=\delta\cdot\delta$ заменить одно $\delta$ единицей. Тогда ваше уравнение заменится системой $\begin{cases}0<\delta\leqslant 1,\\ 1\delta+8\delta<\varepsilon.\end{cases}$ И в качестве $\delta$ можно взять любое решение этой системы.

Впрочем в данном случае — как хотите, но в более сложных случаях может потребоваться что-нибудь аналогичное.

[Without Name]

Мне еще интересно, стоит ли для моей цели из первого поста (разрабатывать модули цифровой обработки сигналов) совмещать работу, изучение проектирование на verilog и изучение математики? Я месяц живу в таком режиме и чувствую, что силы заканчиваются. Может сначала освоить verilog до нормального уровня, отложить его и взяться за математику?

То, чем я хочу заниматься, очень перспективная тема. Мало кто знает, что во "вконтакте" для видеозвонков и обработки видео хотели использовать FPGA, но что-то там у них не сложилось и они обрабатывают видео на GPU.