Как доказать что функция сюръективна, инъективна?

[мат-ламер]

EShikh в сообщении #1670787 писал(а):

Дана функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x}$, отображающая множество действительных чисел $\mathbb{R}$ во множество действительных чисел, $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Криво сформулировано. Составители задач, однако, могут допускать неточности и опечатки. Не надо делать из этого проблему. Я бы предложил ТС самому найти корректную формулировку задачи. И уже решать её.

[EShikh]

Спасибо всем за помощь, отдельная благодарность skobar.

До меня долго не могло дойти то, что "$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 \ne x_2$ следует $f(x_1) \ne f (x_2)$" эквивалентно "$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 = x_2$ следует $f(x_1) = f (x_2)$". То есть, вот это "неравно" в исходой формулировке полностью сбило с толку.

мат-ламер в сообщении #1670833 писал(а):

Криво сформулировано. Составители задач, однако, могут допускать неточности и опечатки. Не надо делать из этого проблему. Я бы предложил ТС самому найти корректную формулировку задачи. И уже решать её.

В итоге рассмотрел два случая: $[0; +\infty] \to \mathbb{R}$ и $[0; +\infty] \to [0; +\infty]$.

[Combat Zone]

EShikh в сообщении #1670955 писал(а):

"$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 \ne x_2$ следует $f(x_1) \ne f (x_2)$" эквивалентно "$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 = x_2$ следует $f(x_1) = f (x_2)$".

Нет, это не эквивалентно. Второе вообще всегда выполнено.

-- 21.01.2025, 15:12 --

EShikh
Постройте две функции. Обе с законом соответствия $f(x)=x^2$.
Одна из $\mathbb R \to [0,+\infty)$, другая из $[0,+\infty)$ в себя.
Одна из них инъективна, другая нет. Попробуйте тут разобраться, здесь проще.

[skobar]

EShikh в сообщении #1670955 писал(а):

До меня долго не могло дойти то, что "$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 \ne x_2$ следует $f(x_1) \ne f (x_2)$" эквивалентно "$ x_1, x_2 \in D(f)$ из $x_1 = x_2$ следует $f(x_1) = f (x_2)$". То есть, вот это "неравно" в исходой формулировке полностью сбило с толку.

Как уже отметил Combat Zone, не эквивалентно. Если из утверждения $A$ следует утверждение $B$, то это совсем даже НЕ эквивалентно тому, что из отрицания $A$ следует отрицание $B$. Например, "Если я смотрю телевизор, то я засыпаю", вовсе не эквивалентно "Если я не смотрю телевизор, то я не засыпаю". Зато импликация $A \Rightarrow B$ будет эквивалентна следующему утверждению: $\neg B \Rightarrow \neg A$, где $\neg A$ и $\neg B$ - это отрицания утверждений $A$ и $B$ соответственно (т.е. для нашего примера эквивалентным будет: "если я не засыпаю, то я не смотрю телевизор). Соответственно для доказательства инъективности функции вам нужно доказать, что если $f(x_1) = f (x_2)$, то тогда $x_1 = x_2$ (т.е. что если два числа посылаются функцией в одно и то же значение, то числа должны быть равны)