Аналитическая геометрия и школьная геометрия

[katzenelenbogen]

Подскажите такую вещь.
Складывается такое впечатление, что предмет "Аналитическая геометрия" вузвоский из первого семестра позволяет решать очень много задач школьных.
Я уже рассказывал, что в школе геометрию почти не проработал, только некоторые и довольно простые вещи разобрал при подготовке к поступлению, а до конкурсного уровня не дошёл.
Теперь открываю ЕГЭ и другие конкурсные задачи и понимаю, что меня тянет решать большинство попавшихся экзаменационных заданий введением системы координат.
Приходится использовать общее уравнение плоскости, общее уравнение прямой на плоскости, определитель и векторное произведение, а также вузовские (не школьные) обозначения для всего этого. Что нежелательно было на школьном и абитуриентовском уровне.

Вопрос вот в чём. А насколько много задач решаются с помощью аналитической геометрии?
Решаются ли все или большинство, или только половина?
Что не решается таким образом?

К примеру, на днях я пытался доказать пару вещей, которые помнил, но не помнил их доказательств. Стал вводить систему координат, считать проекции, расстояния и т.д. Не дорешал, но там всё свелось к решению уравнений с синусами, радикалами и т.д. Складывалось впечатление, что смог бы довести всё до конца.
Честно говоря, с ходу не помню, что именно я пытался доказать. Но это были какие-то школьные утверждения по планиметрии. Может, вспомню, напишу тогда.

[Mihr]

katzenelenbogen в сообщении #1670656 писал(а):

А насколько много задач решаются с помощью аналитической геометрии?
Решаются ли все или большинство, или только половина?

Все. Только далеко не во всех случаях такое решение оптимально.

[katzenelenbogen]

Mihr
бездоказательно говорите. Можете привести ссылки на достаточно основательные объяснения того, что вы написали?

[drzewo]

Mihr
дал очевидный ответ на очевидный вопрос. А зачем нужно что-то доказывать топикстартру, я лично, не понимаю. Что разве, если он не поверит Mihr на слово, кому какое до этого дело?

[dgwuqtj]

Есть такая теорема Тарского об элиминации кванторов для теории вещественно замкнутых полей. Из неё следует, что любое утверждение школьной геометрии, которое можно записать формулой первого порядка (поризм Понселе нельзя, а так почти всё можно), можно чисто механически доказать или опровергнуть в координатах. То есть «аналитически».

[drzewo]

dgwuqtj в сообщении #1670661 писал(а):

Есть такая теорема Тарского об элиминации кванторов для теории вещественно замкнутых полей. Из неё следует, что любое утверждение школьной геометрии, которое можно записать формулой первого порядка (поризм Понселе нельзя, а так почти всё можно), можно чисто механически доказать или опровергнуть в координатах. То есть «аналитически».

А чем, собственно, однородные координаты не координаты? И чем построение проективной геометрии в однородных коородинатах неаналитическое?

(Оффтоп)

Так иногда смотришь на высказывание << элиминации кванторов>>, << теорема Тарского >>, <<теории вещественно замкнутых полей>>, <<формулой первого порядка>> -- и кажется, что что-то очень содержательное сказано. А приглядишься по-внимательнее -- ничего вообще! Дырка от бублика.

[dgwuqtj]

Можно в каких угодно координатах считать, какая разница... Вряд ли ТС спрашивал про преимущества векторной алгебры над однородными координатами.

[Утундрий]

Меня впечатлило упоминание Понселе. Это как-то рифмуется с Пенлеве. В общем, что-то непонятное, но очень-очень внушительное!

P. S. Прошу прощения за непозволительную сентиментальность в столь строгом деле, как теоремы Тарского.