Разные функциональные пространства и нормы на них

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669351 писал(а):

медленно растущих функций

теперь товарисч путает $\mathcal S$ и $\mathcal S'$ :)

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1669354 писал(а):

чушь хватит уже нести

чо не таук то - ппрорстранстьво шварца - медленно растущих со всеми производными функции .. Треуголка давит?

[mihaild]

drzewo в сообщении #1669354 писал(а):

Не надо ля-ля. $\mathcal L^2$ это пространство измеримых функций с суммируемым квадратом, $L^2$ -- результат факторизации первого по соответствующей полунорме

В Богачеве-Смолянове так. В Рудине, Колмогорофе-Фомине, Канторовиче-Акилове, Иосиде - обозначения $\mathcal L$ нет вообще.

pppppppo_98 в сообщении #1669360 писал(а):

чо не таук то - ппрорстранстьво шварца - медленно растущих со всеми производными функции

Не так то, что пространство Шварца - это пространство быстро убывающих функций (любая производная убывает быстрее любого многочлена), Богачев-Смолянов, с. 450 в издании 2009 г.
Сопряженное к пространству Шварца - пространство обобщенных функций, регулярные функции из него растут не слишком быстро (Смолянов на лекциях это называл "обобщенные функции умеренного роста", насчет общепринятости не знаю).

[skobar]

drzewo в сообщении #1669354 писал(а):

Не надо ля-ля. $\mathcal L^2$ это пространство измеримых функций с суммируемым квадратом, $L^2$ -- результат факторизации первого по соответствующей полунорме

Понадобилась пара минут на понимание, но постепенно из памяти начинают вылезать знания 20-летней давности :). Точно, ведь элементами $L^2$ являются не функции, а классы функций совпадающих почти всюду.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1669364 писал(а):

В Богачеве-Смолянове так.

Еще в Эдвардсе и у Лэнга

mihaild в сообщении #1669364 писал(а):

"обобщенные функции умеренного роста", насчет общепринятости не знаю

По-моему всюду так. У Иосиды так. Медленно растущие обобщенные функции. tempered distributions

[pppppppo_98]

mihaild в сообщении #1669364 писал(а):

Не так то, что пространство Шварца - это пространство быстро убывающих функций (любая производная убывает быстрее любого многочлена), Богачев-Смолянов, с. 450 в издании 2009 г.

а ну да ... посыпаю голову пеплом... Перед дзверо тоже за этот ляп извиняюсь ... я чо то с асимптотической стороны(с бесконечности на них смотрел) на них смотрел... Так то - да вы правы . Ну дык вы мне может подскажете на них более естественную норму нежели квадратичную...

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1669368 писал(а):

Ну дык вы мне может подскажете на них более естественную норму нежели квадратичную

Стандартная топология на пространстве Шварца (порожденная полунормами $\sup_x |f^{(\alpha)}(x) |x|^{\beta}|$) не нормируема. Ну и ладно, хотя бы метризуема, и на том спасибо. Всё лучше чем неполная.

[skobar]

pppppppo_98 в сообщении #1669368 писал(а):

Ну дык вы мне может подскажете на них более естественную норму нежели квадратичную...

Уже было озвучено:

skobar в сообщении #1669218 писал(а):

ЗЫ Я понимаю, что drzewo написал про ввод топологии на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Ввести "правильную" норму на нем у нас не получится, самое лучшее, что можно сделать - это использовать стандартную систему полунорм и превратить его в метризуемое полное линейное локально выпуклое топологическое пространство (пространство Фреше)

Полунормы в явном виде выше выписал mihaild

-- 10.01.2025, 15:36 --

pppppppo_98 в сообщении #1669360 писал(а):

Треуголка давит?

Позвольте спросить, а какой был мотив вашего самого первого поста в этой ветке по теме, которую вы, мягко выражаясь, не слишком хорошо знаете?

[drzewo]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1669370 писал(а):

Стандартная топология на пространстве Шварца (порожденная полунормами $\sup_x |f^{(\alpha)}(x) |x|^{\beta}|$) не нормируема.

Может скажу чушь, ибо совсем аккуратно доказательство не продумывал. Навскидку: пространство $\mathcal S(\mathbb{R})$ должно обладать свойством Монтеля: всякое ограниченное множество относительно компактно. Если это так, то откуда берется ненормируемость понятно.

[mihaild]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1669411 писал(а):

пространство $\mathcal S(\mathbb{R})$ должно обладать свойством Монтеля

Вроде да, но можно сильно проще: если полинормированное пространство нормируемо, то на самом деле достаточно конечного количества полунорм.

[pppppppo_98]

skobar в сообщении #1669382 писал(а):

Позвольте спросить, а какой был мотив вашего самого первого поста в этой ветке по теме, которую вы, мягко выражаясь, не слишком хорошо знаете?

в том что есть такая наука физика, в ней есть таконе понятие сигнал илли плотность вероятности, которые имеют конечную энергию, да еще и клнечную длительность (если о сгиналах речь с учетом всех переходных процессов)... дык вот это реализация $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ - и вот там естественная норма как раз энергия (или плоьтность вероятности) - то есть какой-то квадрат, а не заумные произведения.

[skobar]

pppppppo_98 в сообщении #1669724 писал(а):

в том что есть такая наука физика, в ней есть таконе понятие сигнал илли плотность вероятности, которые имеют конечную энергию, да еще и клнечную длительность (если о сгиналах речь с учетом всех переходных процессов)... дык вот это реализация $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ - и вот там естественная норма как раз энергия (или плоьтность вероятности) - то есть какой-то квадрат, а не заумные произведения.

Вопрос был про ваш мотив. На этот вопрос вы не ответили, а вместо этого, увы, ещё раз продемонстрировали вашу некомпетентность в данной теме. Вы даже не понимаете, о чем речь, говорите совсем о другом и даже в своей области путаете пространства пробных функций друг с другом.

[pppppppo_98]

skobar в сообщении #1669725 писал(а):

а вместо этого, увы, ещё раз продемонстрировали вашу некомпетентность в данной теме.

не суди судия - сам судим не будешь.(с)..За мотмив я ответил.. Вы за своими познаниями следите в области, я вас отличии от вас помнил еще на этапе входа что $L_2$ - искусственное для физики простраство, получаемое пополнением по норме, и мне не пришлось 20летние конспекты . На этом , давайте и замнем для ясности.. Разжевать искусственность квадратичной нормы в пространстве $\mathcal{S}$ -важнейшем в реальных физических приложениях вы пока не смогли ( полунормы не измеримы на практике - от слова никак, это я про электромагнитные сигналы, а вквантовой механике вообще все что измеримо квадраты)

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669856 писал(а):

я вас отличии от вас помнил еще на этапе входа что $L_2$ - искусственное для физики простраство

Откровения пошли. Хоть стой, хоть падай.

[pppppppo_98]

Треуголку на размер больше купите... Больно смотреть на мучения