Математическое ожидание

[User008]

Есть переменная $x = 0;
$M раз Генерируется случайное целое число $[0, N)$. Каждому числу соответсвует число, которое прибавляется к $x. Но при выпадении некоторых из этих $N чисел, к оставшемуся количеству генераций случайного числа прибавляется ещё $Mгенераций. Надо найти математическое ожидание $x.
Прошу прощения, если плохо сформулировал, но надеюсь смысл понятен.

[ewert]

Непонятен. Как минимум непонятнен критерий, по которому добавляются дополнительные генерации.

[User008]

Допустим, генерируется число от 0 до 15.
Каждому из них соответсвует некоторое значение $V(y).
Допустим число генерируется 3 раза.
Некоторые из чисел увеличивают число оставшихся генераций на 3. Пусть ими будут 0 и 1.

Если сгенерировались 2,8,15, на этом генерация заканчивается и результат равен $V(2) + V(8) + V(5)$.

Если сгенерировалось 2, 0, 2, то из-за нуля производится ещё 3 генерации. Если в них выпадет 0 или 1 то число оставшихся генераций снова увеличится. И результат будет $V(2) + V(0) + V(2) + V($y_4) + V($y_5) + V($y_6)$ + ...

Если выпадает 0,2,1, то после этого будет ещё 6 генераций, если в них выпадут особые числа, то снова прибавятся генерации. Так продолжается до тех пор, пока они не закончатся.
Например: 2 0 2 0 1 2 4 5 6 7 8 9

[Alexiii]

Правильна ли формулировка: из чисел $[1,2,..,n]$ случайным образом выбираем $m$ чисел.
Если выпадает число из $[1,2,...,k]$,то все повторяем заново.
Надо найти мат. ожидание дискретной случайной величины $X:[1,2,..,n]\rightarrow [1,2,..,n], X(t)=t$ ?

[User008]

Вроде похоже. Повторяем столько раз, сколько чисел из этих m выпавших требуют повтора. Величина X равна сумме значений, соответсвующих выпавшим числам.

[Alexiii]

Тогда я не совсем прав,т.к. случайной величиной будет

$$X(t_1,t_2,...,t_m)=\sum\limits_{i=1}^{m}t_i, t_i\in [1..n]$$

Или вообще случайная величина будет равна

$$X(t_1,t_2,...,t_m)=\sum\limits_{i=1}^{m} v(t_i), t_i\in [1..n]$$

,где $v:[1,2,...,n]\rightarrow R$ - какая-то функция?Так что-ли?

[User008]

Alexiii писал(а):

Или вообще случайная величина будет равна

$$X(t_1,t_2,...,t_m)=\sum\limits_{i=1}^{m} v(t_i), t_i\in [1..n]$$

,где $v:[1,2,...,n]\rightarrow R$ - какая-то функция?Так что-ли?

Наверно да, причём v(t_i), как мне представляется, для некоторых $t будет равна $$X(t_1,t_2,...,t_m), возможно плюс некоторое значение, но это уже не так важно.

[Alexiii]

Начнем с того,что случайная величина дискретна.
Тогда у нас есть формула мат. ожидания:
$M[X]=\sum\limits_{i=1}^{r}x_i p_i=\sum\limits_{i=1}^{r}(p_i \sum\limits_{j=1}^{m} v(t_{ij}))$
Ясно,что разные $x_i$ получатся только тогда,когда выбраны разные числа.
Количество разных выборок равно,очевидно,

$$n^m$$

.
Так как любая выборка $(t_1,...,t_m)$ равновозможна,то вероятность выпадания любой конкретной выборки равна

$$\frac{1}{n^m}$$

.

Если всего было совершено $a$генераций ($a\geqslant 1$), то,имея

$$r=a$$

и

$$p_i=\frac{1}{n^m}$$

, получим:

$$M[X]=\frac{1}{n^m}\sum\limits_{i=1}^{a}}\sum\limits_{j=1}^{m} v(t_{ij})$$

.

Но что-то слишком тупо получается - условие надо сформулировать четко!

[User008]

В ответе присутствует

$$v(t_{ij})$$

, а его значение для некоторых $t равно

$$M(X)$$

. Получается бесконечная рекурсия.

Что непонятно в условии?

[Архипов]

User008 в сообщении #166433 писал(а):

Есть переменная x = 0;
M раз Генерируется случайное целое число [0, N). Каждому числу соответсвует число, которое прибавляется к x. Но при выпадении некоторых из этих N чисел, к оставшемуся количеству генераций случайного числа прибавляется ещё M генераций. Надо найти математическое ожидание x.

Конкретизируем условия, чтобы не оперировать бесконечными величинами. Генерируются случайные целые положительные числа от 0 до 10 с равномерным распределением, выполняется 100 генераций. Дополнительное условие: количество генераций увеличится на сумму случайных чисел 3 или 7, появившихся в этой выборке, равной 100. Найти матожидание и отклонения в три "сигмы" суммы генерируемых чисел, при том, что длина выборки тоже случайное число, Матожидание количества этих двух чисел равно 20, матожидание суммы значений равно 5*20 =100, дисперсия будет 100*0,8=80, отклонения будут около 9. Так как сумма этих значений - двумерная величина, то распределение ее будет близко к нормальному. И с вероятностью 0,997 будет заключена между 73 и 127. Итого имеем выборку от 173 до 227, Если бы не суммировали случайные числа, то матожидание было бы равно 5, оно не зависит от длины выборки. Но сумма их зависит от длины выборки. Получим матожидание суммы 200*5 +- 27*5 с вероятностью 0,997.

Если усложнить условие (длина выборки зависит от фиксированной постоянной 100 , экспоненциально зависит от вероятности ее удлиннения (0,2) и самого удлиннения (например 3 или 7).
Либо длинна выборки имеет предел - либо не имеет его.

[User008]

Нужна функция для нахождения точного математического ожидания для любых условий.

[Архипов]

User008 писал(а):

Нужна функция для нахождения точного математического ожидания для любых условий.

Ну, для любых абстрактных условий и функция абстрактна. Да еще и точная. Чем Вас не устраивает определяющая формула матожидания из учебника?

[User008]

В смысле не устраивает формула из учебника? Дело в том, что значения, соответствующие некоторым числам, необходимые для нахождение математического ожидания, как мне представляется, и есть математическое ожидание. И формула разворачивается до бесконечности. Может надо использовать какие-нибудь пределы или типа того?
То, что написано в предыдущем посте, не совсем похоже на точную формулу, тем более, что, как мне показалось, расчёт идёт с исключением событий с вероятностью 0,003.

[Архипов]

User008 в сообщении #166866 писал(а):

И формула разворачивается до бесконечности. Может надо использовать какие-нибудь пределы или типа того?

Если условие такое: первая (постоянная) выборка 100, одна случайная величина (2-ка, из возможных от 0 до 9), то приращения выборки будут 100*2/10=20, потом 20*2/10=4, потом 1. Матожидание длинны выборки 125+-32, матожидание суммы от 420 до 700 с вероятностью около 0,99.

[User_80]

Допустим, один раз случайно выбирается число от 1 до 4. Оно и будет значением функции $f(). Но если выпадет 1, то к нему прибавится $f().
Возможные результаты
$2$
$1+2 = 3$
$1+1+3 = 5$
$1+1+1+1+1+4 = 9$

Введём функцию
$G(x) = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{G(x-1)}{4}$, при $x \not = 0$
$G(x) = 0$, в прoтивном случае

Тогда, я думаю, что
$M(f()) = \lim\limits_{x \to \infty} G(x)$

Как это посчитать? (Должно получиться $3\frac{1}{3}$)