Задача на проверку непрерывности, равномерной непрерывности

[milton]

Проверить, что функция f(x)=sin (1/x) непрерывна на интервале (0,1), но не равномерно непрерывна на нем же.
Вот если бы задача стояла в доказательстве, то было бы проще гораздо, а тут как я понял, надо как-то подбирать дельты и эпсилоны...

[Brukvalub]

milton в сообщении #166811 писал(а):

Вот если бы задача стояла в доказательстве, то было бы проще гораздо,

Переформулируем задачу:
Доказать, что функция f(x)=sin (1/x) непрерывна на интервале (0,1), но не равномерно непрерывна на нем же.
Теперь задача не представляет для Вас труда.

[AD]

Ну непрерывна она просто как композиция непрерывных функций.

А чтобы доказать неравномерность непрерывности - надо нарисовать график функции, внимательно на него посмотреть, и записать потом на языке $\varepsilon$-$\delta$ формально следующее свойство: функция может изменить свое значение на $2$ за сколь угодно малое "время".

[milton]

Скажем, доказать что 1/х не равномерно непрерывна на (0,1) я смогу, но вот следует ли из этого, что sin 1/x на (0,1) не равномерно непрерывна.. Просто мы не проходили теоремы, что если внутренняя функция не равномерно непрерывна, то и композиция функций тоже непрерывна..



Brukvalub
К сожалению, задача именно "показать" эту непрерывность и не равномерную непрерывность..

[AD]

Нет-нет-нет. Равномерную непрерывность через композицию доказывать не нужно, и ваша гипотеза

milton в сообщении #166837 писал(а):

если внутренняя функция не равномерно непрерывна, то и композиция функций тоже непрерывна.

не верна (а вдруг внешняя функция - тождественный ноль?).

Так что "$\varepsilon$-$\delta$" в зубы и вперёд. Идею я вам уже рассказал, дальше - дело техники, которую вам как раз и предлагают наработать на этой задачке.