Равенство сумм

[nnosipov]

Для нечетного $N$ докажите равенства

$$\sum_{k=1}^N \frac{\gcd{(k,N)}}{\cos^2{(\pi k/N)}}=\sum_{k=1}^N{\gcd}^2{(k,N)}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{2N}(-1)^k{\gcd}^2{(k,2N)}.$$

Комментарий. Второе равенство более-менее очевидно. Первое равенство хотелось бы установить без непосредственного вычисления самих сумм.

[DariaRychenkova]

А что такое gcd?

[Gagarin1968]

DariaRychenkova в сообщении #1658850 писал(а):

А что такое gcd?

Наибольший общий делитель — по английски "greatest common divisor" (gcd).