Алгебра абстрактная

[Dan B-Yallay]

1. В группе $ 4 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{ Z}$ есть две подгруппы (2,0) и (0,1) обе изоморфные $2 \mathbb{ Z}$, но
$ 4 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{ Z}$ / (2,0) \ncong $ 4 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{ Z}$ / (0,1)

Есть ли подобные примеры для Модулей?


2. Дано коммутативное кольцо $K$. Имеется точная последовательность
$0 \to L \to^f N \to^g Q \to 0$ модулей над $K$.
Показать что для любого $K$-модуля $M$ существует точная последовательность
$0 \to Hom(M,L) \to Hom(M,N) \to Hom(M,Q)$

3. Модуль $ M $ над кольцом $ R $ является циклическим, т.е. порожден единственным элементом.
Доказать что он изоморфен модулю вида $R/J$, где $J$ - это подмодуль / левый идеал $R$

4. Доказать что всякий неприводимый (не имеет собственных подмодулей) модуль изоморфен циклическому модулю вида $R/J_R$, где $J_R$ - максимальный идеал $R$

[Руст]

1. Обычно пишут не $nZ$, а $Z/nZ$ или $Z_n$. То что привели является не только группой (впрочем и любая абелева группа) но и модулем над $Z$.
Все остальные вопросы такие же лёгкие и имеются в любом учебнике алгебры или коммутативной алгебры. Пересказывать нет смысла.

[Dan B-Yallay]

Руст в сообщении #16568 писал(а):

То что привели является не только группой (впрочем и любая абелева группа) но и модулем над $Z$.

Я неправильно выразился. Имелось в виду пример с модулями над $\mathbb {Q}$ или $\mathbb {R}$

Руст в сообщении #16568 писал(а):

Все остальные вопросы такие же лёгкие и имеются в любом учебнике алгебры или коммутативной алгебры. Пересказывать нет смысла

В книжке Dummit & Foote я этих примеров не нашел, а других под рукой нет - архив как вы знаете закрыт. Задачки из теории колец и модулей, применять построения из некоммутативных или других алгебр не приветствуется..

Нужны не столько сами решения а скорее подсказка/идея к решению, потому что ступор - не знаю с какой стороны подступиться.

[tolstopuz]

Dan B-Yallay писал(а):

В книжке Dummit & Foote я этих примеров не нашел, а других под рукой нет - архив как вы знаете закрыт.

Вопрос 2 - 10.5, стр.387, теорема 28.
Вопрос 3 - 12.1, стр.462, текст между теоремами 4 и 5.
Вопрос 4 - 10.3, стр.356, упр 10. Там есть подсказки.
Страницы по третьему изданию.

[Dan B-Yallay]

Спасибо, я поищу.

[lofar]

Вопрос 1.
Такое бывает и над полями, например над $\mathbb Q$. Пусть $V$ --- счетномерное векторное пространство над $\mathbb Q$ с базисом $e_1, e_2,\ldots$ Рассмотрим два подпространства $A$ и $B$. $A$ --- линейная оболочка $e_3, e_4, e_5,\ldots$, а $B$ --- линейная оболочка $e_2,e_3,e_4,\ldots$ Тогда $A\cong B\cong V$. И, в тоже время, $V/A$ --- двумерно, а $V/B$ --- одномерно.

[Dan B-Yallay]

Классный пример! Спасибо.
_____________
И как я сам не догадался?