Вероятностное пространство

[Elijah96]

Здравствуйте,помогите пожалуйста понять что такое сигма-алгебра в вероятностном пространстве.
Вероятностное пространство это тройка:
Пространство элементарных исходов($\Omega) - Это множество всех элементарных исходов случайного эксперимента.
Вероятностная мера или вероятность($\rho) - То есть вероятность некоторого исхода или события.
Сигма-алгебра множеств($\sigma) - Это множество подмножества всех элементарных исходов случайного эксперимента.

То есть я правильно понимаю что сигма-алгебра это ничто иное как сами случайные события(не элементарные исходы а именно события)?
Или это группа событий?

Пример::
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1
Исход:Выпадение грани 2
Исход:Выпадение грани 3
Исход:Выпадение грани 4
Исход:Выпадение грани 5
Исход:Выпадение грани 6
Тогда пространством элементарных исходов будет совокупность всех исходов(то есть выпадение грани 1...выпадение грани 6).

Далее:
Событие А:Выпадение четного числа
Событие В:Выпадение числа меньше 3
Событие С:Выпадение числа больше 3

Сами события это и есть сигма-алгебра?

[Null]

Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.

[drzewo]

интересено, а как в вероятностных терминах трактовать неизмеримое множество?

[mihaild]

drzewo в сообщении #1647848 писал(а):

а как в вероятностных терминах трактовать неизмеримое множество

Так и трактовать - как множество исходов, не являющееся событием.

[Elijah96]

Null в сообщении #1647846 писал(а):

Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.

Погодите
Элементы сигма-алгебры - это множества,и они будут событиями
То есть элементы сигма-алгебры это и есть события.
А сигма-алгебра это тоже множество событий?

[mihaild]

Elijah96 в сообщении #1647850 писал(а):

А сигма-алгебра это тоже множество событий?

Что значит "тоже"? Это множество событий, и вроде бы других множеств событий в этой теме не упоминалось.

[Elijah96]

Null в сообщении #1647846 писал(а):

Элементы сигма-алгебры - это множества, они и будут событиями.
Сигма-алгебра - множество множеств или множество событий.

Если сигма-алгебра это множество событий
То что тогда элемент сигма-алгебры?
Само событие?
Тогда причем здесь множества?

-- 30.07.2024, 19:50 --

Исходя из моего примера,получается события А,В,С это сигма-алгебра,а любое событие по отдельности это элемент сигма-алгебры?

[Anton_Peplov]

Сигма-алгебра $\sigma$ - это множество всех событий. Множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ является событием тогда и только тогда, когда $A \in \sigma$.

Если $\Omega$ конечно (например, исходы бросков кубика), то обычно в качестве $\sigma$ берут множество всех подмножеств $\Omega$, или, как еще говорят, булеан $\Omega$. Тогда всякое множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ есть событие.

При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$. Но эти множества очень сложно устроены и не интересны с практической точки зрения.

[Elijah96]

Anton_Peplov в сообщении #1647855 писал(а):

Сигма-алгебра $\sigma$ - это множество всех событий. Множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ является событием тогда и только тогда, когда $A \in \sigma$.

Если $\Omega$ конечно (например, исходы бросков кубика), то обычно в качестве $\sigma$ берут множество всех подмножеств $\Omega$, или, как еще говорят, булеан $\Omega$. Тогда всякое множество элементарных исходов $A \subset \Omega$ есть событие.

При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$. Но эти множества очень сложно устроены и не интересны с практической точки зрения.

Получается в моем примере множество состоящее из событий А,В и С это одна из сигма-алгебр?(ведь событий может быть множество).

Пример::
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1(Событие А)
Исход:Выпадение грани 2(Событие B)
Исход:Выпадение грани 3(Событие C)
Исход:Выпадение грани 4(Событие D)
Исход:Выпадение грани 5(Событие E)
Исход:Выпадение грани 6(Событие F)

Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

[drzewo]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1647855 писал(а):

При бесконечном $\Omega$, вообще говоря, есть множества элементарных исходов, не являющиеся событиями: $B \subset \Omega, B \notin \sigma$

такое и на конечном множестве бывает
надо в другую ветку уходить

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):

Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

Нет же, у вас $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$. Событиями будут некоторые подмножества, скажем, бывает событие $\{A, D, E\}$. Примером $\sigma$-алгебры будет множество всех подмножеств $2^\Omega$, в ней ни одной буквы нет, только множества из букв.

[mihaild]

Elijah96 в сообщении #1647854 писал(а):

То что тогда элемент сигма-алгебры?
Само событие?

Просто "событие".

Elijah96 в сообщении #1647854 писал(а):

Тогда причем здесь множества?

При том, что событие - это множество элементарных исходов. А сигма-алгебра - это множество событий.

Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):

Получается в моем примере множество состоящее из событий А,В и С это одна из сигма-алгебр?

Нет. Не любое семейство множеств элементарных исходов является сигма-алгеброй (там, где Вы нашли этот термин, написано, какие свойства нужны).

Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):

Исход:Выпадение грани 1(Событие А)

Тут есть проблема в связи русского языка с формальным.
Пусть $a$ - элементарный исход "выпала $1$". Тогда на практике часто "выпадением $1$" называют как элементарный исход $a$, так и событие $\{a\}$. Но их важно разделять.
$a$ - элементарный исход, но не событие
$\{a\}$ - событие, но не элементарный исход

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1647857 писал(а):

такое и на конечном множестве бывает
надо в другую ветку уходить

Я оговорился, что обычно при конечном $\Omega$ в качестве сигма-алгебры берут булеан $\Omega$. И в этом (и только этом) случае каждое подмножество $\Omega$ есть событие.

Почему так делают, понятно. Потому что в задаче с конечным $\Omega$ обычно есть смысл приписать вероятность каждому событию вида "наступил элементарный исход $\omega$" (если смысла нет, то множество элементарных исходов в данной задаче стоит переопределить). А если каждое одноэлементное множество $\{\omega\}$ принадлежит сигма-алгебре, то и любое $A \subset \Omega$ тоже ей принадлежит как конечное объединение одноэлементных множеств $\{\omega\}$.

Если же $\Omega$ бесконечно и несчетно, то взять булеан $\Omega$ в качестве сигма-алгебры, конечно, можно, но как потом на этой сигма-алгебре определять вероятность, непонятно. При любом осмысленном выборе меры возникнут неизмеримые множества.

По-моему, все эти детали сложноваты для ТС.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1647858 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647856 писал(а):

Тогда в частном случае могут ли события A,B,C,D,E,F так же быть сигма-алгеброй(ведь это элементарные исходы)?

Нет же, у вас $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$. Событиями будут некоторые подмножества, скажем, бывает событие $\{A, D, E\}$. Примером $\sigma$-алгебры будет множество всех подмножеств $2^\Omega$, в ней ни одной буквы нет, только множества из букв.

Тогда $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$ не будет ли так же подмножеством?
Ведь если сигма-алгебра это булеан,то тогда $\Omega$ так же будет подмножеством
Разве нет?

Пример:
Имеется очень толстая монета
Событиями будут:
A - Выпал орел
В - Выпала решка
С - Монета выпала на ребро
Тогда булеаном монеты будет:
$B(M)=({\varnothing}),({\Omega}),({A}),({B}),({C}),({A,B}),({A,C}),({B,C})$
Где:
$\varnothing$ - Монету не бросали
$\Omega$ - Монету все-таки бросили
Верно?

-- 01.08.2024, 17:41 --

mihaild в сообщении #1647859 писал(а):

А сигма-алгебра - это множество событий.

Вообще не обязательно чтобы именно все подмножества входили в множество,именуемой сигма-алгеброй?
Я имею ввиду следующее:
Множество $\mathfrak A,элементами которого являются подмножества множества $\Omega(не обязательно все)называется сигма-алгеброй($\sigma-алгеброй)

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1648039 писал(а):

Тогда $\Omega = \{A, B, C, D, E, F\}$ не будет ли так же подмножеством?

Конечно, это событие.

Elijah96 в сообщении #1648039 писал(а):

Тогда булеаном монеты будет:
$B(M)=({\varnothing}),({\Omega}),({A}),({B}),({C}),({A,B}),({A,C}),({B,C})$

Что такое вообще $(A)$ и т.д.? Обычно скобками обозначают упорядоченные наборы (кортежи) или используют их для группировки, но когда в скобках одна буква, это уже загадочно. Перечисление объектов через запятую тоже непонятно что такое, снаружи же нет никаких скобок. Булеаном множества $\{A, B, C\}$ будет $\{\varnothing, \{A\}, \{B\}, \{C\}, \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{A, B, C\}\}$.