Найти асимптотику частичной суммы

[vicvolf]

Найти асимптотику частичной суммы: $\sum_{n \leq x} 1*...*1(n)$, где $*$ - свертка Дирихле. Для доказательства асимптотики использовать метод математической индукции.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1641274 писал(а):

Найти асимптотику частичной суммы: $\sum_{n \leq x} 1*...*1(n)$, где $*$ - свертка Дирихле. Для доказательства асимптотики использовать метод математической индукции.

Первый шаг идукции: $\sum_{n \leq x} 1*1(n)=\sum_{n \leq x} \tau(n)=x\ln(x)+(2\gamma-1)x+O(x^{1/2})=x\ln(x)+O(x)$ - известная формула Дирихле. Отсюда можно подумать об общем предположении для формулы асимптотики и сделать следующий шаг индукции.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1641621 писал(а):

Первый шаг идукции: $\sum_{n \leq x} 1*1(n)=\sum_{n \leq x} \tau(n)=x\ln(x)+(2\gamma-1)x+O(x^{1/2})=x\ln(x)+O(x)$ - известная формула Дирихле. Отсюда можно подумать об общем предположении для формулы асимптотики.

Общая формула асимптотики: $\sum_{n \leq x}1*...*1(n)=\frac{x\ln^{k-1}(x)}{(k-1)!}+O(x\ln^{k-2}(x))$. Как сделать следующий шаг индукции, чтобы доказать эту формулу?

[vicvolf]

Пусть данное равенство выполняется для $k=m$. Покажем, что оно будет выполняться для $k=m+1$.

Обозначим $u_m(n)=1*...*1$, тогда $f(n)=u_m(n)*1=\sum_{d|n} {u_m(n)}$ и получим:

$\sum_{n \leq x}{f(n)}=\sum_{n \leq x}{\sum_{d|n} {u_m(n)}}=$$\sum_{d \leq x}{u_m(d)(x/d+O(1))=x\sum_{d \leq x}{\frac{u_m(d)}{d}}+O(u_m(d))$.

Ну и что дальше?

[vicvolf]

Лучше $u_{m+1}(n)=u_m(n)*1=\sum_{d|n} {u_m(n)}$ и получим:

$\sum_{n \leq x}{u_{m+1}(n)}=\sum_{n \leq x}{\sum_{d|n} {u_m(n)}}=$$\sum_{d \leq x}{u_m(d)(x/d+O(1))=x\sum_{d \leq x}{\frac{u_m(d)}{d}}+O(u_m(d))$.(1)

Далее с помощью формулы суммирования Абеля найти $\sum_{d \leq x}{\frac{u_m(d)}{d}}$ на основании $u_m(n)$ и, подставив в (1), получить соответствующее значение $u_{m+1}(n)$.

Жаль, что никто не решил эту задачу. Она конечно может быть решена с помощью метода Сельдберга-Деланжа из аналитической теории чисел, но не все это знают, а метод математической индукции знают все.