Такой красивый, возможный путь Пьера Ферма

[Grigory71]

Дорогие коллеги, как мне кажется, мне удалось восстановить оригинальное доказательство Пьера Ферма его знаменитой теоремы, и дабы Вы не кидали в меня тапками, я распишу ЯВНЫЙ случай для $n=3$, что при этом уравнение не имеет решений в натуральных $x, y, z$. Итак, приступим!

$x^3+y^3=z^3$

где,

$z=m^3+p^3$
$x=m^3-p^3$

такие $m, p$ нецелые, для любых натуральных $z, x$ – существуют, ибо

$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$
$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$

для начала распишем разность

$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$

раскроем первое и второе выражения по стандартным формулам $(a+b)^3$, $(a-b)^3$
$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$
$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$

Возьмем разность между ними (что-то сокращается, а что-то удваивается)
$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$

преобразуем
$y^3=2\cdot3\cdot[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

обозначим через $l^3$ выражение в квадратных скобках

$l^3=[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

получаем
$y^3=2\cdot 3 \cdot l^3$

преобразуем
$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

Обозначим левую часть через $q$, получаем
$q^3=6$

НЕ СУЩЕСТВУТ такого целого числа $q$, куб которого был бы равен $6$,
поэтому уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решения в натуральных $x, y, z$

Случай $n=3$ доказан.

Если уважаемая администрация разрешит, то я ниже приведу ссылку на свой препринт ResearchGate для общего $n$

Спасибо за внимание!

[пианист]

Так ведь, вроде, не с чего считать $l$ целым?
Насчет "оригинального доказательства" - посмотрите материалы по этому вопросу, выложенные на форуме уважаемой shwedka.

[Grigory71]

пианист в сообщении #1640407 писал(а):

Так ведь, вроде, не с чего считать $l$ целым?
Насчет "оригинального доказательства" - посмотрите материалы по этому вопросу, выложенные на форуме уважаемой shwedka.

а, да, большое спасибо!
Спасибо, посмотрю)))

[пианист]

Я имел в виду, что про $l$, и, соответственно, $\frac{y} {l}$, как Вы их задали, ничего сказать нельзя. Так что почему бы и не быть равным кубу шести.

[Grigory71]

пианист в сообщении #1640411 писал(а):

Я имел в виду, что про $l$, и, соответственно, $\frac{y} {l}$, как Вы их задали, ничего сказать нельзя. Так что почему бы и не быть равным кубу шести.

Да, конечно, спасибо

-- 27.05.2024, 10:20 --

Тогда так,

$x^3+y^3=z^3$

где,

$z=m^3+p^3$
$x=m^3-p^3$

такие $m, p$ нецелые, для любых натуральных $z, x$ – существуют, ибо

$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$
$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$

для начала распишем разность

$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$

раскроем первое и второе выражения по стандартным формулам $(a+b)^3$, $(a-b)^3$
$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$
$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$

Возьмем разность между ними (что-то сокращается, а что-то удваивается)
$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$

преобразуем
$y^3=2\cdot3\cdot[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

обозначим через $l^3$ выражение в квадратных скобках

$l^3=[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

получаем
$y^3=2\cdot 3 \cdot l^3$

преобразуем
$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

В этом выражении $y>l$. Для того чтобы $y$ было натуральным числом в данном выражении, оно
при делении на $l$ должно давать натуральное число,
ибо при делении натурального числа на действительное мы получаем действительное число,
поэтому мы можем и должны заменить выражение следующим, если мы хотим, чтобы в левой части
было натуральное число

$q^3=6$

не существует целого числа $q$ куб которого был бы равен 6
поэтому таких натуральных $y, l$ не существует

$x, y, z$ натуральных для $n=3$ не существует

[мат-ламер]

Grigory71 в сообщении #1640406 писал(а):

Такой красивый, возможный путь Пьера Ферма

Grigory71 в сообщении #1640406 писал(а):

Дорогие коллеги, как мне кажется, мне удалось восстановить оригинальное доказательство Пьера Ферма

А из каких соображений мы можем восстановить ход мысли Ферма для доказательства ВТФ для $n=3$ ? Известно, что он в письмах предлагал другим математикам доказать ВТФ для $n=3$ и для $n=4$ . Известно, что результаты, в которых он сомневался, другим он не предлагал доказать. Обладал ли Ферма достаточным математическим аппаратом, чтобы доказать ВТФ для $n=3$ ? Почему нет? Ещё в 1572 году Рафаель Бомбелли опубликовал книгу, в которой комплексные числа трактовались как пара действительных чисел $a+b\sqrt{-1}$ . Ферма вполне мог использовать числа вида $m+n\sqrt{-3}$ , где числа $m$ и $n$ целые. Тем более, что полях "Арифметики" Диофанта он написал, что располагает поистине удивительным доказательством. Может в этом и состоял поистине удивительный ход его мыслей, что он открыл новый вид чисел? А вот этого "поистине удивительного" топик-стартеру и не хватает. (Корректность рассуждений ТС я не рассматриваю). Вполне возможно, что впоследствии Ферма понял, что для введённых им новых чисел существует проблема однозначного разложения на множители. Поэтому в письмах он ограничился только частным случаем своей теоремы.

[Grigory71]

Я просто спешил, и не уточнил, вот как это у меня для общего случая сделано




но вижу, что во избежании двусмыслицы этот текст надо уточнить

[пианист]

Grigory71 в сообщении #1640412 писал(а):

преобразуем
$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

В этом выражении $y>l$. Для того чтобы $y$ было натуральным числом в данном выражении, оно
при делении на $l$ должно давать натуральное число

Не факт. Возьмите $y=2$, $l=\frac{2}{\sqrt[3]{6}}$. Соотношение выполнено, но $\frac{y}{l} = \sqrt[3]{6}$ отнюдь не натуральное число.

[Grigory71]

Я намудрил. всё много проще...

$x^3+y^3=z^3$

где,

$z=m^3+p^3$
$x=m^3-p^3$

такие $m, p$ нецелые, для любых натуральных $z, x$ – существуют, ибо

$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$
$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$

для начала распишем разность

$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$

раскроем первое и второе выражения по стандартным формулам $(a+b)^3$, $(a-b)^3$
$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$
$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$

Возьмем разность между ними (что-то сокращается, а что-то удваивается)
$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$

преобразуем
$y^3=2\cdot3\cdot[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

обозначим через $l^3$ выражение в квадратных скобках

$l^3=[(m^3)^2\cdot p^3+(\frac{1}{3})\cdot (p^3)^3]$

получаем
$y^3=2\cdot 3 \cdot l^3$

преобразуем
$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

Такой куб не имеет целых корней, поэтому уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решения в натуральных $x, y, z$

Случай $n=3$ доказан.

[mihaild]

Grigory71 в сообщении #1640430 писал(а):

$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

Такой куб не имеет целых корней

Ну и что? $l$ же может быть нецелым.
(а еще полезно проверять рассуждения для случая $n = 2$ - там получатся похожие выражения, и если бы Ваша логика работала, то она доказывала бы несуществование пифагоровых троек)

[Grigory71]

mihaild в сообщении #1640431 писал(а):

Grigory71 в сообщении #1640430 писал(а):

$(\frac{y}{l})^3=2\cdot 3$

Такой куб не имеет целых корней

Ну и что? $l$ же может быть нецелым.
(а еще полезно проверять рассуждения для случая $n = 2$ - там получатся похожие выражения, и если бы Ваша логика работала, то она доказывала бы несуществование пифагоровых троек)

[transcendent]

mihaild в сообщении #1640431 писал(а):

а еще полезно проверять рассуждения для случая $n = 2$

Конечно.

mihaild в сообщении #1640431 писал(а):

для случая $n = 2$ - там получатся похожие выражения, и если бы Ваша логика работала, то она доказывала бы несуществование пифагоровых троек

mihaild,
$n>2$, никто не забыл. Какие основания говорить о $n=2$?
Нее...А можно я скажу больше? Скажу, несмотря ни на что. Когда ("им")надо, то говорят "$n>2$", но когда надо ("им") другое как-то аргументировать, то могут вспоминать/напоминать, что $n=2$.
Я встречался уже с таким подходом.
Итак, $n>2$...
Grigory71,
Один я не могу прочитать Ваше Вложение с Изображением ни на телефоне, ни на компе, или это у всех?

[mihaild]

transcendent в сообщении #1640436 писал(а):

$n>2$, никто не забыл. Какие основания говорить о $n=2$?

Такие, что если не видно, где доказательство разваливается при $n = 2$, то в нем точно есть ошибка, и дальше можно не анализировать.
Разумеется всегда можно найти конкретный неправилный переход (что я и сделал), но это часто сложнее, чем заметить, что $n > 2$ на самом деле нигде существенно не используется (а в любом корректном доказательстве должно).

[transcendent]

mihaild, сказать, что кто-то должен что-то доказывать претенденту, нельзя. Это понятно. Именно претендент должен доказывать. Однако, как представляется, вопросы должны быть корректными, для чего следовала бы давать им обоснование -почему задаваемый вопрос является корректным. Мы все знаем, что n=2 для данного обсуждаемого контекста не существует. Однако, настоятельное требование принять его во внимание без обоснования (как сказано выше) выглядит, по меньшей мере, непонятным, несмотря на Ваш ответ:

mihaild в сообщении #1640437 писал(а):

что $n > 2$ на самом деле нигде существенно не используется

.
По крайней мере, Вы могли бы показать где $n>2$ не используется?

[Grigory71]

Дорогие и уважаемые коллеги, я вынужден признать, Пьер Ферма гений, и он и правда нашел, то, что искал,
а у меня, честно признаюсь, ума не хватает, да и не хватит мозгов, чтобы понять его гениальный ход мыслей, но я на ВЕРНОМ ПУТИ, Павел Геннадьевич Юркин из МАГАТЭ понял ход мыслей Пьера Ферма, на основе моего способа, еще в далеком 2019 году, и делал мне на него намеки, а до меня, что называется недопетрило))) но технологии развиваются, поэтому я провел анализ, при помощи Искусственного Интеллекта своего способа, и ИИ нашел мне ход мыслей Пьера Ферма, а я... что я? просто чайник )))

Итак, смотрите!

Во-первых, мысль Павла Геннадьевича Юркина из МАГАТЭ:
----------------------------------------------------
Теорема Ферма - доказательство самого Ферма
(с) Юркин Павел МАГАТЭ

Русский физик-ядерщик Григорий Леонидович Деденко восстановил исходное рассуждение Пьера Ферма, приведшее последнего к выводу о непредставимости суммы двух одинаковых натуральных степеней рациональных чисел одной такой же степенью для показателя выше квадрата - знаменитой (великой) теореме Ферма.

Ферма оставил, как известно, в 1637 г. пометку на полях (читаемой им, видимо) "Арифметики" Диофанта с формулировкой обнаруженного факта и добавлением - "я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".

Как понял Г.Л. Деденко, Ферма анализировал разности степеней новым на тот момент методом - разложением этих разностей в сумму попарных произведений (названным позднее "бином Ньютона" ). Ферма обнаружил, что коэффициенты разложения удовлетворяют тогда некоторым простым условиям, которым эквивалентно некое простое логарифмическое (ещё одно понятие, только вызревавшее к середине XVII века) уравнение относительно степени разлагаемой суммы (или, вернее, разности). Последнее имеет лишь два корня - числа единица и два.

Таким образом, поля книги действительно оказались узки для полной записи чудесного доказательства - её требовалось предварять и перемежать введением и леммированием новых тогда понятий: разложение с комбинаторными коэффициентами (бином Ньютона) , логарифм и пр. Сейчас неясно, записал ли Пьер Ферма своё рассуждение подробно где-либо и - если записал - лежит ли эта запись теперь в каком-нибудь неожиданном архиве. Историкам естествознания предлагается поискать заново.
---------------------------------

Во-вторых, вот расшифровка мыслей Павла Геннадьевича в LaTeX на основе предложенного мною способа при помощи ИИ Claude 3 Opus
мне кажется, благодаря моим подсказкам ИИ понял все предельно четко и доказал Великую Теорему Ферма, на основе моих идей, в отличии от меня, большого чайника )))