кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1634734 писал(а):

Именно здесь ведь пахнет прорывом. И очень здорово, что Вы посчитали 61# для 19-252. Ибо следующее число 67# уже больше половины радиуса, а это важно.

Dmitriy40
Нет, я имел в виду прорыв покруче:

Раз я сумел найти другой способ посчитать все vc[], то на базе этого способа можно попробовать найти способ вычислять по формулам не с радиуса, а с половины радиуса. На что и намекал. То есть попробовать стартовать как раз с 61# для 19-252.

Допиливаю код.

-- 30.03.2024, 13:57 --

Dmitriy40 в сообщении #1634831 писал(а):

Зато смог посчитать правые 5 элементов в 19-252 до 127#:

Эх, зря Вы их показали, может я и сам смог бы их посчитать. Если другие два получите, пока не показывайте.

[Yadryara]

Доделал. Получился такой обобщённый алгоритм. Основан на 3-х векторах, старом добром vc и ещё c1g1 и g2.

Пример для паттерна 18-18. 7# это меньше половины радиуса.

Если подать на вход vc для 7# и c1g1, g2 для 11#, то на выходе получится vc для 11#.

Если подать на вход vc для 11# и c1g1, g2 для 13#, то на выходе получится vc для 13#.

Если подать на вход vc для 13# и c1g1 для 17#, и нулевой g2, то на выходе получится vc для 17#.

Если подать на вход vc для 17# и нулевые c1g1 и g2, то на выходе получится vc для 19#. То есть уже получается старый добрый способ, поскольку строка 17# для диаметра 36 — стартовая.

Но надежды заметить закономерности для массивов c1g1 и g2 и быстро их вычислять, пока не оправдались. Сам я их пока что вычислял перебором.

Вот прога с тремя наборами векторов. Значение нового vc выводится в самом конце.

(PARI)

{print();

vc = [0,0,0, 10,  264,  1978,  5998,  6484,  2574,  556,  56 ]; cm=3; p=19;

kan = vector(#vc);y = vector(#vc);
c1g1 = vector(#vc);g2 = vector(#vc);
v = vector(#vc);

\\vc   = [0,0,0,0,0,0,0,2,12,0,2];                      16          7#
\\c1g1 = [0,0,0,0,0,0,0,2, 6,0,0];                       8
\\  g2 = [0,0,0,0,0,0,0,2, 8,0,2];                      10


\\vc   = [0,0,0,0,0,2,12,60,40,12,2];                  128         11#
\\c1g1 = [0,0,0,0,0,2, 6,38,26,10,2];                   84
\\  g2 = [0,0,0,0,0,0, 2,12,12, 8,2];                   36


\\vc   = [0,0,0,0,6,66,330,548,258,64,8];        \\     1280       13#
\\c1g1 = [0,0,0,0,2, 8, 76,118,114,52,8];         \\     378
\\  g2 = [0,0,0,0,0, 0,  0,  0,  0, 0,0];



for(i=cm,#vc,kan[i]=vc[i]*p);

skan=vecsum(kan);

print(vc,"         ", vecsum(vc));
print(kan,"     ", skan);

for(i=cm,#vc, y[i]=cm*vecsum(vc)*kan[i]/skan;kan[i]=kan[i]-y[i] );

print(y,"         ", vecsum(y));
print(kan,"      ", vecsum(kan));
print();

forstep(i=#vc,cm,-1,

v[i]=y[i]*(i-cm)/cm - c1g1[i] - g2[i] ;

print(i, "    ",v[i]);

);

print();

kan[#vc]=kan[#vc]-v[#vc];

\\print(kan[#vc]);

print();

\\print(c1g1,"         ", vecsum(c1g1));

\\print();

forstep(i=#vc-1,cm,-1,

kan[i] = kan[i] + v[i+1] - g2[i+1] - v[i];

kan[i-1] = kan[i-1] + g2[i+1];

\\print(i, "    ",kan[i]);
);

print(kan, "    ",vecsum(kan));

print();

}quit;

[Yadryara]

vicvolf, а что Вы скажете про наши нынешние кортежи, симметричные нечётной длины, минимальный из которых в Вашей записи $p,p+6,p+12$ ?

Вот пример вычисления c1g1 (1 чистое 1 грязное) и g2 (2 грязных) для 2-го такого кортежа, то есть $p,p+12,p+24$.

                          Центр

    7      11  13      17  19      23          29  31                8

   17  19      23          29  31          37      41                7

   19      23          29  31          37      41  43                7

   29  31          37      41  43      47  49      53                8

   37      41  43      47  49      53          59  61                8

   47  49      53          59  61          67      71                7

   49      53          59  61          67      71  73                7

   59  61          67      71  73      77  79      83                8

   67      71  73      77  79      83          89  91                8

   77  79      83          89  91          97     101                7

   79      83          89  91          97     101 103                7

   89  91          97     101 103     107 109     113                8

   97     101 103     107 109     113         119 121                8

  107 109     113         119 121         127     131                7

  109     113         119 121         127     131 133                7

  119 121         127     131 133     137 139     143                8

  127     131 133     137 139     143         149 151                8

  137 139     143         149 151         157     161                7

  139     143         149 151         157     161 163                7

  149 151         157     161 163     167 169     173                8

  157     161 163     167 169     173         179 181                8

  167 169     173         179 181         187     191                7

  169     173         179 181         187     191 193                7

  179 181         187     191 193     197 199     203                8

  187     191 193     197 199     203         209 211                8

  197 199     203         209 211         217     221                7

  199     203         209 211         217     221 223                7

  209 211         217     221 223     227 229     233                8

Как известно, $7\#= 2\cdot3\cdot5\cdot7=210$. Здесь перечислены все 28 кортежей (в каждой строке по одному) вида $p,p+12,p+24$ с начальными числами $0-209$. Но числа здесь не простые, а малопростые по 5, то есть не делящиеся только на 2, 3, 5.

Возьмём последний кортеж. Образующие его числа, то есть $p,p+12,p+24$, то есть $209,221,233$ назовём чистыми и обозначим $c$, они должны быть обязательно, иначе нет кортежа. Другие числа в нём $211,217,223,227,229$ — лишние, они только загрязняют наш кортеж. Их, естественно, называем грязными и обозначаем $g$. Ну а количество всех чисел указано справа. Как видим, их или 7 или 8.

Задача для нынешнего диапазона $0-209$ такая: перейти от малопростых по 5 к малопростым по 7, то есть проверить все представленные числа на делимость на 7 и выбросить те, которые делятся. Причём, если любое чистое число вдруг разделилось на 7, выбрасываем сразу весь кортеж.

Ниже я выбрасывать кортежи пока не стал, а лишь выбросил кратные 7 числа и справа указал какие и сколько:

                          Центр

           11  13      17  19      23          29  31                8-1c

   17  19      23          29  31          37      41                7

   19      23          29  31          37      41  43                7

   29  31          37      41  43      47          53                8-1g

   37      41  43      47          53          59  61                8-1c

   47          53          59  61          67      71                7-1g

           53          59  61          67      71  73                7-1c

   59  61          67      71  73          79      83                8-1g

   67      71  73          79      83          89                    8-1c-1g

       79      83          89              97     101                7-1c-1g

   79      83          89              97     101 103                7-1c

   89              97     101 103     107 109     113                8-1g

   97     101 103     107 109     113             121                8-1g

  107 109     113             121         127     131                7-1c

  109     113             121         127     131                    7-1c-1g

      121         127     131         137 139     143                8-1c-1g

  127     131         137 139     143         149 151                8-1g

  137 139     143         149 151         157                        7-1c

  139     143         149 151         157         163                7-1q

  149 151         157         163     167 169     173                8-1c

  157         163     167 169     173         179 181                8-1g

  167 169     173         179 181         187     191                7

  169     173         179 181         187     191 193                7

  179 181         187     191 193     197 199                        8-1c

  187     191 193     197 199                 209 211                8-1g

  197 199                 209 211                 221                7-2g

  199                 209 211                 221 223                7-2g

  209 211                 221 223     227 229     233                8-1g

Как видим, наилучшее очищение получилось для двух кортежей из 7 чисел: они не лишились ни одного чистого числа, но зато потеряли сразу два грязных. Что и указано справа: $7-2g$. В массиве я это представляю так:

g2 = [0,0,0,0,0,0,2,0];

2-ка на 7-м месте. То есть, кроме двух кортежей, ни с кем такого счастья двойной очистки не случилось.

Ещё 4 кортежа потеряли по одному чистому и одному грязному числу. Что обозначено справа как $7-1c-1g$ и $8-1c-1g$. А в массиве это представлено так:

c1g1 = [0,0,0,0,0,0,2,2];

До этого момента всё понятно?

[vicvolf]

Понятно, но непонятно зачем?

Yadryara в сообщении #1634899 писал(а):

vicvolf, а что Вы скажете про наши нынешние кортежи, симметричные нечётной длины, минимальный из которых в Вашей записи $p,p+6,p+12$ ?

Обратите внимание, что первое число в таком кортеже обязательно простое. Этот кортеж не образует полную систему вычетов (ПСВ) по модулю 3, поэтому их бесконечное количество. Но если вставить 2 числа и образовать симметричный k-кортеж c $k=5$, например $p,p+2,p+6,p+10,p+12$, то он не образует ПСВ по модулям 3 и 5, поэтому таких кортежей тоже может быть бесконечное количество. Если попытаться вставить еще 2 числа и получить кортеж с $k=7$, то таких кортежей нет.

[Yadryara]

Чтобы научиться оценивать количество более сложных кортежей, в том числе 19-252. Кстати, пытаясь понять, как же получить неизвестные массивы g2 и c1g1, постепенно пришёл к системе из 3-х Диофантовых уравнений с 5-ю неизвестными. Вот пример:

$6a + 3c = b + 4d$

$a + b + c + d + e = 78$

$b + d = 18$

[vicvolf]

Давайте продолжим разбираться с кортежем $p,p+12,p+24$.

[Yadryara]

Давайте.

Yadryara в сообщении #1634585 писал(а):

На каждый период $p\#$ считается точное количество чистых решений, с одним лишним простым, с двумя лишними и так далее. Максимальное количество таких загрязняющих простых очень быстро сходится и не меняется с дальнейшим увеличением периода.

Yadryara в сообщении #1634670 писал(а):

А значение $c_{max}$ в нынешнем случае устаканилось на 7. То есть тройка простых 12-12 может быть загрязнена другими простыми в количестве до 4-х штук.

vicvolf, против этого есть возражения?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1634912 писал(а):

системе из 3-х Диофантовых уравнений с 5-ю неизвестными. Вот пример:
$6a + 3c = b + 4d$
$a + b + c + d + e = 78$
$b + d = 18$

Третье подставляется во второе и уравнений остаётся два, потом исключается сначала $b$ из первого:
$2a+c=6+d$
$a+c+e=60$
Потом и $c$ из второго и остаётся одно уравнение всего с двумя независимыми переменными (третье неизвестное выражается через любые два), а $b$ и $c$ вычисляется из его решений:
$d+e=a+54,\;\;b=18-d,\;\;c=6+d-2a$

Надеюсь все числа должны быть натуральными, не целыми, тогда получается всё решить и множество решений оказывается конечным.
Из $b+d=18$ получаются ограничения $b<18,\;d<18$, т.е. вариантов для $b$ (и соответственно $d$) всего $17$, с $1$ и по $17$.
Подставив в $c=6+d-2a$ выражение $d=18-b$ получим $c=24-b-2a$, из которого сразу следует ограничение на чётность $c$ (совпадающую с чётностью $b$), плюс ограничение сверху на $a\le\lfloor(23-b)/2\rfloor$.
Итого всего решений выходит $17$ вариантов для $b$ и сколько-то вариантов $a$ для каждого $b$. Приведу их все (в формате a,b,c,d,e):

Используется синтаксис Text

? for(b=1,17,for(a=1,(23-b/2)\2,print(a,",",b,",",24-b-2*a,",",18-b,",",36+a+b);))
1,1,21,17,38
2,1,19,17,39
3,1,17,17,40
4,1,15,17,41
5,1,13,17,42
6,1,11,17,43
7,1,9,17,44
8,1,7,17,45
9,1,5,17,46
10,1,3,17,47
11,1,1,17,48
1,2,20,16,39
2,2,18,16,40
3,2,16,16,41
4,2,14,16,42
5,2,12,16,43
6,2,10,16,44
7,2,8,16,45
8,2,6,16,46
9,2,4,16,47
10,2,2,16,48
1,3,19,15,40
2,3,17,15,41
3,3,15,15,42
4,3,13,15,43
5,3,11,15,44
6,3,9,15,45
7,3,7,15,46
8,3,5,15,47
9,3,3,15,48
10,3,1,15,49
1,4,18,14,41
2,4,16,14,42
3,4,14,14,43
4,4,12,14,44
5,4,10,14,45
6,4,8,14,46
7,4,6,14,47
8,4,4,14,48
9,4,2,14,49
1,5,17,13,42
2,5,15,13,43
3,5,13,13,44
4,5,11,13,45
5,5,9,13,46
6,5,7,13,47
7,5,5,13,48
8,5,3,13,49
9,5,1,13,50
1,6,16,12,43
2,6,14,12,44
3,6,12,12,45
4,6,10,12,46
5,6,8,12,47
6,6,6,12,48
7,6,4,12,49
8,6,2,12,50
1,7,15,11,44
2,7,13,11,45
3,7,11,11,46
4,7,9,11,47
5,7,7,11,48
6,7,5,11,49
7,7,3,11,50
8,7,1,11,51
1,8,14,10,45
2,8,12,10,46
3,8,10,10,47
4,8,8,10,48
5,8,6,10,49
6,8,4,10,50
7,8,2,10,51
1,9,13,9,46
2,9,11,9,47
3,9,9,9,48
4,9,7,9,49
5,9,5,9,50
6,9,3,9,51
7,9,1,9,52
1,10,12,8,47
2,10,10,8,48
3,10,8,8,49
4,10,6,8,50
5,10,4,8,51
6,10,2,8,52
1,11,11,7,48
2,11,9,7,49
3,11,7,7,50
4,11,5,7,51
5,11,3,7,52
6,11,1,7,53
1,12,10,6,49
2,12,8,6,50
3,12,6,6,51
4,12,4,6,52
5,12,2,6,53
1,13,9,5,50
2,13,7,5,51
3,13,5,5,52
4,13,3,5,53
5,13,1,5,54
1,14,8,4,51
2,14,6,4,52
3,14,4,4,53
4,14,2,4,54
1,15,7,3,52
2,15,5,3,53
3,15,3,3,54
4,15,1,3,55
1,16,6,2,53
2,16,4,2,54
3,16,2,2,55
1,17,5,1,54
2,17,3,1,55
3,17,1,1,56

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634922 писал(а):

То есть тройка простых 12-12 может быть загрязнена другими простыми в количестве до 4-х штук.

Кроме первого числа в тройке все числа не простые, а малопростые (по вашей терминологии). Если кортеж при переходе на следующий шаг вычеркивается полностью, то зачем определять, какие элементы в нем вычеркнуты?

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1634928 писал(а):

Если кортеж при переходе на следующий шаг вычеркивается полностью, то зачем определять, какие элементы в нем вычеркнуты?

Вот это и есть великое таинство. Пока не додумался, что надо именно так делать, не мог продвинуться дальше. Вот здесь показывал как это работает. В двух словах я не могу объяснить.

Dmitriy40, Спасибо. Я ещё два жёстких ограничения нашёл для той системы. Там решений уже возможно не больше 5-ти.

Теперь мне нужно знать количество специфических близнецов до $2340$:

$11\cdot11\quad 11\cdot13$

$11\cdot17\quad 11\cdot19$
...
$11\cdot167 \quad11\cdot169$
...

$11$ я умножаю на малопростые до $7$.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634670 писал(а):

А значение $c_{max}$ в нынешнем случае устаканилось на 7. То есть тройка простых 12-12 может быть загрязнена другими простыми в количестве до 4-х штук.

Когда на этом шаге мы вычеркнули кортежи, одно из чисел которого делится на 7, то сразу получили 4 кортежа с 7 элементами, т.е. имеющих четыре дополнительных элемента ($c=4$). Хочу подчеркнуть, что не было установления, а получили сразу $c=4$. На следующем шаге, при делении элементов на 11, некоторые элементы будут удалены и некоторые из кортежей с 7 элементами могут быть вычеркнуты, т.е. на следующем шаге значение $c$ может уменьшится (по крайней мере не увеличится). Таким образом, установление идет по шагам и в сторону уменьшения. Я правильно понимаю?

[Yadryara]

vicvolf, чуть позже. А пока хочу сказать о том, что число таких близнецов регулярное!

СБ  5  до  5#      1 

СБ  7  до  7#      3     3 раза

СБ 11  до 11#     15     5 раз

СБ 13  до 13#    135     9 раз 

СБ 17  до 17#   1485    11 раз
    
СБ 19  до 19#  22275    15 раз 

Значит следующее значение будет в 17 раз больше.

 {print();

p=19;

mor=1;forprime(i=2,p-1,mor=mor*i);

forstep(i=p,mor,2,

if(i%3<>0 && i%5<>0 && i%7<>0 && i%11<>0 && i%13<>0 && i%17<>0

 &&(i+2)%3<>0 && (i+2)%5<>0 && (i+2)%7<>0 && (i+2)%11<>0
 && (i+2)%13<>0 && (i+2)%17<>0,
kb++;
print(kb,"  ",i,"  ", i+2,"   ",p*i);
print();
));
print();

}quit;

-- 31.03.2024, 17:44 --

vicvolf в сообщении #1634937 писал(а):

Таким образом, установление идет по шагам и в сторону уменьшения. Я правильно понимаю?

Это правильно, разумеется, но увеличение количества кортежей, в том числе с 7 числами(3c + 4g) всё равно будет нарастать с каждым периодом и меньше 7 уже не будет. В теме насчёт этого было много таблиц.

А для паттерна 19-252 меньше 49 (19c + 30g) уже не будет. Надеюсь, понятно почему.

А у меня между тем кое-что сошлось. Ещё буду тестить.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634938 писал(а):

Это правильно, разумеется, но увеличение количества кортежей, в том числе с 7 числами(3c + 4g) всё равно будет нарастать с каждым периодом и меньше 7 уже не будет.

Увеличение количества кортежей на следующем шаге связано просто с увеличением числа элементов (вычетов). Ввиду симметрии расположения вычетов кортежи длиной 7 будут повторяться. Я посмотрел оставшиеся 4 кортежа длиной 7 и они состоят не только из простых чисел.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1634969 писал(а):

Я посмотрел оставшиеся 4 кортежа длиной 7 и они состоят не только из простых чисел.

Ну так их не 4 осталось, а 12. Вот я их выписал:

   17  19      23          29  31          37      41                7

   19      23          29  31          37      41  43                7

   29  31          37      41  43      47          53                8-1g

   59  61          67      71  73          79      83                8-1g

   89              97     101 103     107 109     113                8-1g
--------------------------------------------------------------------------
   97     101 103     107 109     113             121                8-1g

  127     131         137 139     143         149 151                8-1g

  157         163     167 169     173         179 181                8-1g

  167 169     173         179 181         187     191                7

  169     173         179 181         187     191 193                7

  187     191 193     197 199                 209 211                8-1g

  209 211                 221 223     227 229     233                8-1g

Обратите внимание на пунктирную линию. 5 кортежей выше неё состоят только из простых. Если мы хотели узнать количество всех кортежей [0, 12, 24] , все числа которых меньше $11^2=121$, то цель достигнута.

В дальнейшем, по мере проверки по всё большим простым 11, 13 и т. д. эта линия будет сдвигаться и количество кортежей, состоящих только из простых, будет расти. Когда проверим по модулю 31, мы уже будем знать их количество до $37^2=1369$. Мы округляем вниз и говорим, что знаем их количество до $10^3$. А наша цель — узнать примерно до $10^{25}$

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1634938 писал(а):

но увеличение количества кортежей, в том числе с 7 числами(3c + 4g) всё равно будет нарастать с каждым периодом и меньше 7 уже не будет.

Вот это непонятно. Разве меньше 7 было?