АФфинное пространство

[Vasily2024]

Вектор AB в определении аффинного пространства является конкретным вектором?

[Mikhail_K]

Vasily2024 в сообщении #1634592 писал(а):

Вектор AB в определении аффинного пространства является конкретным вектором?

Напишите само определение, которое Вас интересует. Без контекста вопрос непонятен.

Деление векторов на "конкретные" и "абстрактные" - очень устаревшее. В современной математике "конкретные векторы" не используются.

[Vasily2024]

Может быть его лучше назвать аффинным?
(Конкретный) вектор AB является отображением упорядоченной пары (A, B).
Сумма двух (конкретных) векторов AB и BC задана явно и равна (конкретному) вектору AC: AB + BC = AC.

[Mikhail_K]

Vasily2024
В современной теории аффинных пространств "конкретных векторов" нет и они не нужны.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[Vasily2024]

Хорошо. Пусть образ упорядоченной пары (A, B) называется аффинным вектором AB.
Множество аффинных векторов является абелевой группой?

[warlock66613]

Vasily2024 в сообщении #1634813 писал(а):

Множество аффинных векторов является абелевой группой?

Нет, групповая операция должна быть тотальной, то есть определённой для любых двух элементов группы. А у вас сложение определено только для таких пар элементов, у которых конец одного является началом другого.

[Vasily2024]

Согласен с Вашим замечанием. Здесь действительно требуется определить сумму любых векторов.
Докажем, что определена сумма любых векторов AB и СD. Из первой аксиомы Вейля следует, что для произвольного вектора CD существует вектор BD", такой что СD = BD". В таком случае определена сумма AB + СD = AD". Причем, сумма примыкающих векторов определена конкретно AB + BD = AD.

[warlock66613]

Vasily2024, ну проверьте аксиомы группы для такого сложения. Об абелевости-то и говорить не приходится: сложение явно несимметрично.

[Vasily2024]

Действительно, требуется некоторое уточнение:
1. Существует нулевой вектор, обозначаемый как 0, который соответствует случаю AB = 0 тогда и только тогда, когда A = B.
2. Для любого вектора AB существует противоположный вектор BA, такой что AB + BA = 0.
3. Операция сложения аффинных векторов – это операция сложения векторов векторного пространства, поэтому коммутативна.

[warlock66613]

Vasily2024, прежде всего нужно уточнить что такое "аффинный вектор", а уже потом всё остальное.

[Vasily2024]

Пусть задано отображение g, сопоставляющее любой упорядоченной паре точек (A, B) некоторый вектор из V и удовлетворяющее двум аксиомам (аксиомам Вейля). Тогда каждой паре точек (A, B) соответствует вектор g(A, B), принадлежащий V.

Будем считать, что g(A, B) - аффинный вектор, для которого обычно используют обозначение AB.
Таким образом аффинный вектор AB состоит из трех частей: упорядоченной пары (A, B), отображения g и значения отображения g(A, B).

[warlock66613]

Vasily2024, теперь вы пытаетесь "переизобрести" аффинное пространство. Если есть некоторое аффинное пространство, то автоматически (по определению аффинного пространства) есть ассоциированное векторное пространство $V$ и есть отображение $(A, B) \mapsto \overrightarrow {AB}$ в $V$. Нет нужды называть такие векторы "аффинными", так как это самые обычные векторы, элементы векторного пространства.

[Vasily2024]

warlock66613, совершенно верно. Берется аффинное пространство, в котором есть ассоциированное векторное пространство V и имеется отображение g, которое сопоставляет упорядоченным парам точек (A, B) элементы из V.
Образ упорядоченной пары (A, B) обозначается g(A, B) и называется аффинным вектором.
Подчеркнем, что аффинные векторы принадлежит векторному пространству V, но обладают дополнительным свойством: каждому аффинному вектору g(A, B) соответствует единственная упорядоченная пара (A, B), в то время как обычные векторы не обладают таким свойством.

Принято считать, что нет нужды называть такие векторы "аффинными", так как это самые обычные векторы, элементы векторного пространства. Однако такая точка зрения не учитывает тот факт, что множество аффинных векторов является группой, в которой операция сложения для примыкающих пар определена конкретно.

[warlock66613]

Vasily2024 в сообщении #1634907 писал(а):

аффинные векторы принадлежит векторному пространству V, но обладают дополнительным свойством: каждому аффинному вектору g(A, B) соответствует единственная упорядоченная пара (A, B)

Это противоречивое требование.