задача о распределении температуры в цилиндре:

[Dimazz]

Найти распределение температуры в цилиндре радиуса R, нагревающемся вследствие объемного тепловыделения (плотность источников - Q). С поверхности цилиндра отводится постоянный тепловой поток q, начальная температура равна нулю. Считать, что внутренние источники и поток на поверхности удовлетворяют условию, при котором возможно наступление теплового равновесия.

Не могу сделать даже формулировку задачи -> прогресса в решении нет.
Кому не влом поделитесь мыслями)

[photon]

photon:

1) Смените заголовок на информативный, отражающий содержание задачи
2) Изложите свои соображения, попытки, затруднения

[peregoudov]

Написать уравнение теплопроводности?

[Zai]

У Вас одномерная задача
$ \rho c \frac {\partial T} {\partial t}= \frac 1 r \frac {\partial } {\partial r} (\lambda r \frac {\partial T } {\partial r})+w
Граничные условия
r=0,$ \frac {\partial T } {\partial r}=0
r=r_0,$\pi {r_0}^2w=\lambda 2\pi r_0 \frac {\partial T } {\partial r}=2\pi r_0 q
Вам нужно найти стационарное решение уравнения
$ \frac 1 r \frac {\partial } {\partial r} (\lambda r \frac {\partial T } {\partial r})+w=0

[ГАЗ-67]

И причём здесь начальная температура тогда ?
Вообще говоря , условие задачи некорректно в такой постановке :
при развитии процесса температура упадёт ниже нуля в области прилегающей к границе . Хорошо бы уточнить условие .

[V.V.]

Zai писал(а):

У Вас одномерная задача
$ \rho c \frac {\partial T} {\partial t}= \frac 1 r \frac {\partial } {\partial r} (\lambda r \frac {\partial T } {\partial r})+w
Граничные условия
r=0,$ \frac {\partial T } {\partial r}=0
r=r_0,$\pi {r_0}^2w=\lambda 2\pi r_0 \frac {\partial T } {\partial r}=2\pi r_0 q
Вам нужно найти стационарное решение уравнения
$ \frac 1 r \frac {\partial } {\partial r} (\lambda r \frac {\partial T } {\partial r})+w=0

Что за странное условие при $r=0$?

[Zai]

V.V. писал(а):

Что за странное условие при $r=0$?

Опечатка. Поток на оси симметрии r=0 равен нулю:$r \frac {\partial T } {\partial r}=0
В стационарной задаче необходимо еще одно граничное условие по температуре.

[peregoudov]

Э-ге-ге, а задачка не так проста! "Еще одно граничное условие" и есть

Dimazz в сообщении #163453 писал(а):

начальная температура равна нулю

В противном случае я всегда могу прибавить к температуре константу --- и уравнение и граничные условия будут по-прежнему удовлетворены.

А вот можно ли как-то исхитриться использовать это условие, не решая нестационарной задачи явно --- это я пока не понял.

[Dimazz]

Спасибо всем кто откликнулся
Вобщем нам такое задали посчитать на матфизике методом фурье.Если я ошибусь поправьте меня:
начало координат поместим на ось цилиндра в середину.
Записываем уравнение теплопроводности:слева ч.п по времени, справа лапласиан для цилиндр-й сист координат по радиусу и по высоте +q

Нач условия:
t=0 температура на пов-ти равна 0

Граничные условия:
Функция распределения ограничена
она периодична
Вот вопрос как отвод тепла записать в граничные условия?
И как учесть последнюю строчку в условии?
и еще почему надо искать стац распределение там же есть производная по t?
Далее надо представить ф-ю распределения u(r,z,t)=R(r)*Z(z)*T(t)... разделить переменные и так далее...

П.с Извиняюсь пока не приспособился использовать мат тег(

[peregoudov]

Придумал. Нужно выделить стационарное решение неоднородного уравнения, так что оставшееся решение однородного уравнения удовлетворяет однородным граничным условиям (Неймана), но имеет ненулевое начальное значение. В данном случае

$$ T(r,t)=-\frac{wr^2}{4\lambda}+T_1(r,t), $$

причем

$$ \frac{\partial T_1}{\partial t}=\lambda\Delta T_1,\quad \left.\frac{\partial T_1}{\partial r}\right|_{r=R}=0,\quad T_1(r,0)=\frac{wr^2}{4\lambda}. $$

Теперь ищем $T_1$ в виде разложения по собственным функциям уравнения

$$ -\lambda\Delta\psi=E\psi,\quad \left.\frac{\partial\psi}{\partial r}\right|_{r=R}=0. $$

(В данном случае это будут функции Бесселя, но это не суть важно.) Среди этих собственных функций есть одна с собственным значением нуль, сама же она равна константе

$$ T_1(r,t)=a_0(t)+\sum_{n=1}^\infty a_n(t)\psi_n(r). $$

Нетрудно видеть, что $a_0$ от времени не зависит, прочие же $a_n$ стремятся к нулю как $e^{-E_nt}$. Остается определить коэффициент $a_0$

$$ \int_0^R \frac{wr^2}{4\lambda}r\,dr=a_0 R^2\!/2 $$

и стационарное распределение у нас в кармане!

Ну, а физический смысл этого простой: поскольку граничное условие означает теплоизоляцию, начальное тепло просто равномерно распределяется по всему цилиндру.

[Munin]

http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1