Обобщенные координаты

[Norma]

Пусть у нас есть $N$ материальных точек и пусть на них наложено k геометрических связей: $f_i(r_1,...,r_N)$
$i=1...k$. Тогда чтобы все уравнения свезей удовлетворялись радиус-векторы точек можно выразить через $s=3N-k$ обобщенных координат: $f_i(r_1,...,r_N)=f_i(r_1(q_1,...,q_s),...,r_N(q_1,...,q_s))$
Но мне не совсем понятно, почему $s=3N-k$? На простых примерах типа математического маятника это видно, а в общем случае не очевидно.

[sergey zhukov]

Norma
Каждая материальная точка имеет 3 степени свободы в трехмерном пространстве. Конфигурация системы из $N$ точек без связей описывается $3N$ координатами. Если имеются $k$ уравнений связи между координатами точек, то остается $s=3N-k$ независимых координат для описания конфигурации системы. По моему, все тут ясно.

[Norma]

sergey zhukov
Спасибо! Но не очевидно, что все радиус векторы получится выразить через новые координаты

[sergey zhukov]

Norma
Да тут речь только о количестве обобщенных координат. Их должно быть, ясное дело, ровно $3N-k$.

Нужно рассуждать в общем виде. Если есть $N$ переменных и $k$ уравнений на них, то остается $N-k$ "степеней свободы", или обобщенных координат. Здесь даже не нужно думать, как будут выглядеть соответствующие выражения. Это уже частности, которые в каждом конкретном случае обязательно разрешаются.

Может, конечно, получиться какая-нибудь зависимость в неявном виде, это да. Но это не принципиальная трудность. На $N$ переменных должно быть $N$ уравнений. Если нам дали только $k$ уравнений, то должно быть дано еще $N-k$ уравнений, причем все равно, явные это будут выражения или неявная система уравнений.

[pppppppo_98]

Norma в сообщении #1633511 писал(а):

Но не очевидно, что все радиус векторы получится выразить через новые координаты

вы теорему о неявной функции на 2 курсе проходили?

[Norma]

pppppppo_98
Было такое

-- 21.03.2024, 15:15 --

sergey zhukov
Спасибо

[Norma]

А если есть дифференциальные связи, которые не интегрируются, то число независимых обобщенных координат будет меньше?

[Norma]

sergey zhukov
Да, вот это момент не очень понятен. Если из неявной функции не удастся выразить одни переменные через другие, то по-прежнему можно говорить о таком числе степеней свободы?

[sergey zhukov]

Norma
Ну разумеется. Выражать явно вовсе не обязательно. Неявные выражения ничем не хуже в смысле установления зависимости между переменными.

[Norma]

sergey zhukov
Просто тогда не совсем очевидно, что найдутся такие координаты, через которые выразятся все радиус-векторы

[sergey zhukov]

Norma
"Число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Это все, что требуется для решения задачи. Остальное - это мелочи". Приговаривайте так каждый раз, когда появятся сомнения.

[pppppppo_98]

Norma в сообщении #1633642 писал(а):

А если есть дифференциальные связи, которые не интегрируются, то число независимых обобщенных координат будет меньше?

неголономные системы - отдельная песня

-- Сб мар 23, 2024 02:23:09 --

sergey zhukov в сообщении #1633781 писал(а):

Приговаривайте так каждый раз, когда появятся сомнения.

не всегда правда помогает... бывает переопределенное описание динамической системы, когда число описательных переменных принципиально больше числа динамических переменных ... и возникают калибровочные степени свободы (никак не устранимые, окромя взято с потолка - то есть любой ододно калибровки)... в теории гамильоновой динамики систем со связями Дирака этому вопросу уделено значительное внимаеия ... самый известный ромиер в теории поля - электромагнитное поле...

-- Сб мар 23, 2024 02:23:12 --

sergey zhukov в сообщении #1633781 писал(а):

Приговаривайте так каждый раз, когда появятся сомнения.

не всегда правда помогает... бывает переопределенное описание динамической системы, когда число описательных переменных принципиально больше числа динамических переменных ... и возникают калибровочные степени свободы (никак не устранимые, окромя взято с потолка - то есть любой ододно калибровки)... в теории гамильоновой динамики систем со связями Дирака этому вопросу уделено значительное внимаеия ... самый известный ромиер в теории поля - электромагнитное поле...