Разложить функцию в степенной ряд

[PHT]

Помогите разложить функцию в ряд Лорана.

$$f\left( z \right) = z^3 e^{\frac{1}{z}} $$

Здесь особая точка - $z_0 = 0$ .
Предела функции при $z$ стремящемся к нулю не существует, значит $z_0 = 0$ - существенно особая точка.
Я пытался получить разложение следующим путем:
заменяю $t = \frac{1}{z}$, получаю

$$f\left( t \right) = \frac{1}{{t^3 }}e^t$$

.
Теперь нахожу коэффициенты:
$C_0 = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{e^\zeta d\zeta }}{{\zeta ^3 \zeta }}} = \frac{1}{{3!}}\left( {e^t } \right)^{\prime \prime \prime } \left| \begin{gathered} \hfill \\ t = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. = \frac{1}{{3!}}$
$C_1 = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{e^\zeta d\zeta }}{{\zeta ^3 \zeta ^2 }}} = \frac{1}{{4!}}\left( {e^t } \right)^{IV} \left| \begin{gathered} \hfill \\ t = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. = \frac{1}{{4!}}$
$C_2 = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{e^\zeta d\zeta }}{{\zeta ^3 \zeta ^3 }}} = \frac{1}{{5!}}\left( {e^t } \right)^{V} \left| \begin{gathered} \hfill \\ t = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. = \frac{1}{{5!}}$
И т.д.
Теперь коэффициенты при отрицательных $n$:
$C_1 = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{e^\zeta d\zeta }}{{\zeta ^3 \zeta ^{ - 1} }}} = \frac{1}{{1!}}\left( {e^t } \right)^\prime \left|\begin{gathered} \hfill \\ t = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. = \frac{1}{{1!}}$
$C_2 = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{e^\zeta d\zeta }}{{\zeta ^3 \zeta ^{ - 2} }}} = \left( {e^t } \right)\left| \begin{gathered} \hfill \\ t = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. = 1$
$C_3 = ?$
Тогда:

$$\begin{gathered}f\left( t \right) = \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}}t + \frac{1}{{5!}}t^2 + ... + \frac{1}{{1!}}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t^2 }} \hfill \\ f\left( z \right) = \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}}\frac{1}{z} + \frac{1}{{5!}}\frac{1}{{z^2 }} + ... + \frac{1}{{1!}}z + z^2 \hfill \\\end{gathered}$$

Просьба проверить.

[Yu_K]

Для проверки возьмите степенной ряд для экспоненты с проказателем (1/z) и умножьте его на z^3.

[ewert]

Не для проверки, а для формального вывода (он вполне корректен). Лишь люди (например, преподаватели) с извращённым чувством юмора будут использовать здесь формулы Коши...

[Yu_K]

Цитата:

с извращённым чувством юмора

- не в связи с этим - а в образовательных целях [/quote]

[PHT]

Функцию

$$f\left( z \right) = e^{\frac{1}{z}} $$

расскладываю около бескончно удаленной точки, используя тот же прием: заменяю $1/z$ на $t$ и полученную экспоненту расскладываю уже вблизи нуля. Получаю:

$$e^{t} = 1 + \frac{1}{{1!}}t + \frac{1}{{2!}}t^2 + \frac{1}{{3!}}t^3 ...\hfill \\$$

$$e^{z} = z^3 + \frac{1}{{1!}}z^2 + \frac{1}{{2!}}z + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}}\frac{1}{{z}} + ... \hfill \\$$

Правильно?

[Brukvalub]

Левая часть - неверно, а правая - верна.

[ewert]

а куда ж денешься-то (после того как е в степени зет исправить)

[PHT]

Brukvalub в сообщении #162592 писал(а):

Левая часть - неверно, а правая - верна.

$$e^{\frac{1}{{z}}} = z^3 + \frac{1}{{1!}}z^2 + \frac{1}{{2!}}z + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}}\frac{1}{{z}} + ... \hfill \\$$

В этом смысле?

[Brukvalub]

PHT в сообщении #162609 писал(а):

В этом смысле?

Нет. Слева должна быть функция

$$f\left( z \right) = z^3 e^{\frac{1}{z}} $$