пределы интегрирования при замене дифференциала

[pra1rekht]

здравствуйте! у меня в процессе решения одной задачки возник вопрос по пределам интегрирования.
пусть, мы имеем график зависимости $H(x)$, где $H(x) = \frac{1}{V}$, $V$ - скорость тела. по идее:

$$V = \frac{dx}{dt}$$

$$H(x) = \frac{1}{V} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{dt}{dx}$$

если же мы проинтегрируем нашу функцию $H(x)$ в пределах $[a;b]$, мы получим

$$\int\limits_{a}^{b} H(x) dx = \int\limits_{a}^{b} \frac{dt}{dx} dx = \int\limits_{a}^{b} dt = \left. t \right|_a^b = t(b) - t(a) = \triangle t$$

но вопрос: не будут ли в процессе интегрирования измеряться пределы интегрирования? ведь переменная с дифференциалом меняются.

сама задача следующая:
Тело движется вдоль прямой так, что зависимость его обратной скорости $\frac{1}{v}$ от координаты x показана на графике.
а) За какое время $t$ тело изменяет свою координату от $x = 0$ до $x = 10 м$?
б) За какое время оно проходит первую $t_1$, а также и вторую $t_2$ половину пути?
в) Какую половину пути оно проходит быстрее?
https://ibb.co/jy45rFf

задачка, конечно, школьная, но какого-то более простого решения я не вижу: сказать, что площадь под графиком - время движения, исходя из выше указанного интеграла. можете, пожалуйста, предложить какие-нибудь идеи?

[waxtep]

Да и вроде бы все хорошо, только интеграл посередке корректно записать так:

$$\int\limits_{t(a)}^{t(b)} dt$$

где $t(x)$ - неявно заданная зависимость времени от координаты

[svv]

При этом сами $t(a)$ и $t(b)$ Вы никогда не узнаете, потому что задача нечувствительна к сдвигу начала отсчёта времени, и ниоткуда не следует, что координате $x=0$ соответствует $t=0$ (а может, $t=17$?). Вы можете найти только $t(b)-t(a)$, причём для любых $a,b\in[0,10]$. Та цепочка, которую Вы написали, как раз и показывает это (после исправления, которое указал waxtep). Кстати, $t|_a^b$ было бы равно просто $b-a$.
Преобразовать пределы интегрирования нужно в тот момент, когда изменилась независимая переменная интегрирования.

[pra1rekht]

svv в сообщении #1621397 писал(а):

задача нечувствительна к сдвигу начала отсчёта времени

это я и хотел показать за счёт $\triangle \tau$

а если

$$\left. t \right|_{\tau(a)}^{\tau(b)} = \tau(b) - \tau(a) = \triangle \tau$$

то такая запись будет корректней? ведь, насколько я понял из изученного, не стоит обозначать пределы интегрирования так же, как и дифференциал? или на это без разницы всё же?

[svv]

Форма записи, предложенная waxtep, у меня никаких возражений не вызывает. Может быть, потому, что обозначить одной буквой переменную и функцию — меньший грех, чем две переменные.