из мусорки

[KhAl]

Рассмотрим последовательность множеств в $\mathbb{R}$

$$A_n = [n \sqrt{2} - \frac1n; n \sqrt{2} + \frac1n] + \mathbb{Z}$$

(сумма множеств — по Минковскому).

Для наугад выбранного $\alpha \in [0;1]$ какова вероятность события $\forall N \in \mathbb{N}{:}\; \exists n > N{:}\; \alpha \in A_n$? Иначе говоря, какова мера Лебега множества $[0;1] \cap \left(\bigcap_{N \in \mathbb{N}} \bigcup_{n > N} A_n\right)$?

[Doctor Boom]

Единица?

[KhAl]

Doctor Boom, конечно. А если $\frac1n$ заменить на $\frac{1}{n \ln(n)}$?

[Doctor Boom]

Тоже

[KhAl]

Doctor Boom, не верю. А как докажете?

[Doctor Boom]

KhAl
Да ладно Идея такая - $\sum_{n} \frac{1}{n\ln(n)}$ расходится, а $[\sqrt{2}n]$ равномерно распределена на $[0,1]$

[KhAl]

Doctor Boom, эти два факта мне известны. доказательство будет?

[Doctor Boom]

KhAl
Пусть есть большое $N$, докажем, что наугад выбранная точка попадет в $A_{N_1>N}$. Пусть мы выбрали точку, тогда посчитаем вероятность того, что нужное накрытие ее не настигнет. Накрытия можно считать независимыми равномерно распределенными случайными величинами. Тогда вероятность равна $(1-\frac{1}{N\ln(N)})(1-\frac{1}{(N+1)\ln(N+1)})...=e^{-\int_N^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)} dx}=0$, а значит вероятность попадания равна единице

[KhAl]

Doctor Boom, у Вас талант доказывать неверные утверждения.

[Doctor Boom]

KhAl
Значит будем думать

[KhAl]

Doctor Boom, на всякий уточню: кто и над чем?

[Doctor Boom]

KhAl
Я и моя голова над задачей

-- 27.11.2023, 08:42 --

Есть второй ответ ноль, но он пока сырой

[KhAl]

конечно, либо 1 либо 0, а я если я сказал, что не 1, то 0... а вот сейчас как придумаю что-нибудь, где не 1 и не 0!

[Doctor Boom]

KhAl в сообщении #1620008 писал(а):

конечно, либо 1 либо 0,

Конечно, классика

[KhAl]

признаться, для $\frac{1}{n \ln(n)}$ с числом $\sqrt{2}$ у меня ответа нет, но зато есть иррациональное число, для которого ответ не $1$