Неизменность графика функции при взятии по другой функции

[Kubrikov]

Уважаемые форумчане, не знаю как правильно сформулировать вопрос ))

Строим, например, график $x^{3}$ по аргументу $x$

А теперь в качестве аргумента берем не $x$ , а функцию $x^{2}$ (вместо нее может быть любая другая функция, хоть синус).

График получается таким же.

В принципе это очевидно. И там, и там берем произвольное число, подставляем его в функцию и ставим точку на плоскости. Если взять другое число, как-то его "обработать" и подставить в функцию, ничего не изменится.

Это так и должно быть? Похоже на какой-то инвариант.

[iifat]

Вы открыли для себя мощь подстановок.
Не, ну а чего вы ожидали-то? $2^3=8$, и так оно и в Африке будет. Можете писать под двойкой $x^2$, а слева от восьмёрки $(x^2)^3$, или вообще что угодно -- два в кубе так и останется восьмёркой. Единственное отличие -- область определения: изначальный график состоит из двух половин, это вы нарисовали почему-то только правую, при положительных $x$.А вот если внизу под осью писать $x^2$, то оно и правда будет как у вас на рисунке.

[Doctor Boom]

Kubrikov в сообщении #1606597 писал(а):

А теперь в качестве аргумента берем не $x$ , а функцию $x^{2}$ (вместо нее может быть любая другая функция, хоть синус).

Так вы неправильно сделали замену переменной. Если $y=x^3$, а $z=x^2$, то $y=z^{1,5}$

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1606597 писал(а):

вместо нее может быть любая другая функция, хоть синус

С синусом будут проблемы за пределами $[-1;1]$

[Kubrikov]

Doctor Boom в сообщении #1606737 писал(а):

Так вы неправильно сделали замену переменной. Если $y=x^3$, а $z=x^2$, то $y=z^{1,5}$

Вот так же? $y=z^{3}$ , $z=x^{2}$ , $y=(x^{2})^{3}$

Вот думаю, как представить цепное правило механически.
Возьмем сложную функцию (линейную для простоты) $3\times(2\times{x})$

Представим её как три тележки, стоящие одна на другой. Нижняя тележка - независимая переменная $x$. Средняя - промежуточная переменная $2\times{x}$
Верхняя - окончательная функция.

Перемещение тележек представляем как функции пути от времени; требуется найти скорость верхней тележки.

Нижняя тележка движется со скоростью $1$ м/с (двигаем независимую переменную).
Средняя тележка движется в два раза быстрее первой ($2$ - коэффициент масшабирования при $x$).
Верхняя тележка движется в три раза быстрее средней ($3$ - коэффициент масштабирования при $2\times{x}$)

Смещаем нижнюю на $1$ метр. Средняя при этом сместится на $2$ метра. При этом когда средняя сместится на $1$ метр, верхняя должна сместиться на три метра.

Когда расстояние, пройденное средней тележкой удваивается, верхней тележкой тут же утраивается.

Общая скорость $2\times3=6$

Если промежуточную тележку выкинуть, то получаем те же самые $6$ м/с. Но через промежуточную тележку преодолеть $6$ метров проще (например, износ колес меньше

Если функции нелинейные, то тележки движутся неравномерно, но на малом участке движение тележек рассматриваем как равномерное (в этом идея анализа).

Получаем механическое "доказательство" цепного правила.

https://www.youtube.com/watch?v=F7T7VQt ... Dn&index=6

[iifat]

wrest в сообщении #1606739 писал(а):

С синусом будут проблемы за пределами

Ну дык я ж специально написал про область определения.

[EUgeneUS]

Kubrikov в сообщении #1606597 писал(а):

А теперь в качестве аргумента берем не $x$ , а функцию $x^{2}$ (вместо нее может быть любая другая функция, хоть синус).

...

Kubrikov в сообщении #1606597 писал(а):

График получается таким же.

"С синусом" в качестве аргумента - график получится не такой же. Подумайте, почему?

[Kubrikov]

Ну область определения его порежет. Как в случае с $x^{2}$ (поэтому я левую часть параболы и не нарисовал).
Тут важен сам механизм замены. Когда аргумент наружной функции задается значением внутренней функции. Тележка стартует не с нуля, а с поверхности другой тележки.

[TOTAL]

Kubrikov в сообщении #1606597 писал(а):

Строим, например, график $x^{3}$ по аргументу $x$

А теперь в качестве аргумента берем не $x$ , а функцию $x^{2}$ (вместо нее может быть любая другая функция, хоть синус).

А теперь в качестве аргумента возьмите функцию $x^{3}$.
Как $x^{3}$ зависит от $x^{3}$?

[Kubrikov]

Линия под 45°, так же как x зависит от x

[TOTAL]

Kubrikov в сообщении #1606957 писал(а):

Линия под 45°, так же как x зависит от x

График функции поменялся, это победа!

[Kubrikov]

Ну он поменялся, потому что я поменял функцию. Если подставить $x^{3}$ в качестве аргумента в $x^{3}$, то никак не поменяется.

[Kubrikov]

Кстати из этого "инварианта" автоматически вытекает инвариантность формулы дифференцирования и инвариантность формулы интегрирования. Когда $\int_{}^{} f(u)du=\int_{}^{} f(g(x))dg(x)$

И еще $\frac{\text{d}f(u)}{\text{d}u}=\frac{\text{d}f(g(x))}{\text{d}g(x)}$

[koliakrasnoff]

Kubrikov в сообщении #1606741 писал(а):

Gолучаем механическое "доказательство" цепного правила.
https://www.youtube.com/watch?v=F7T7VQt ... Dn&index=6

Нижняя тележка нафига?

[Kubrikov]

Нижняя не нужна. Она движется 1м за 1с, удобно ее использовать как "стрелку часов".