Вокруг производной Фреше

[zuj]

Доброго времени суток всем!

Читаю книжку по функциональному анализу и возникло несколько вопросов. Был бы благодарен, если бы помогли разобраться.
Итак, у Колмогорова в книжке "Элементы теории функций и функционального анализа" есть доказательство следующего факта
Пусть $F$ и $G$ - два непрерывных отображения, действующих из $X$ в $Y$. Если $F$ и $G$ дифференцируемы в точке $x_0$, то и отображения $F+G$ и $aF$ ($a$-число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем
$(F+G)'(x_0)=F'(x_0)+G'(x_0)$
и
$(aF)'(x_0)=aF'(x_0)$
И далее значит приводится доказательство сих фактов
$(F+G)(x_0+h)=F(x_0+h)+G(x_0+h)=F(x_0)+G(x_0)+F'(x_0)h+G'(x_0)h+O(h)$
Доказательство второго пункта не привожу ... для начала с первым бы разобраться.
Эта выкладка понятна, то есть рассуждения автора понятны. Непонятно следующее: откуда взялось $(F+G)(x_0+h)$ и как из последнего равенства следует доказательство первого пункта? Ибо далее автор пишет: откуда следует равенство 1.

[Brukvalub]

Это следует из определения производной отображения.

[ewert]

zuj в сообщении #160308 писал(а):

и как из последнего равенства следует доказательство первого пункта? Ибо далее автор пишет: откуда следует равенство 1.

хрен знает, что из чего и куда следует, но что $o(h)+o(h)=o(h)$ -- тривиально (кстати, "о" -- именно маленькое)

[zuj]

Brukvalub писал(а):

Это следует из определения производной отображения.

Здорово Вы сейчас ответили прям как автор . Мне все равно не особо понятно.
Вот автор определяет дифференцируемое в точке $x$ отображение как
$F(x+h)-F(x)=L_xh+o(h)$,
где собственно говоря $L_x$ и есть производная то бишь $F'(x)$-

А как из $(F+G)'(x_0)$ следует $(F+G)(x_0+h)$ для меня загадка ... ну и естественно концовка тоже.

ewert писал(а):

zuj в сообщении #160308 писал(а):
и как из последнего равенства следует доказательство первого пункта? Ибо далее автор пишет: откуда следует равенство 1.

хрен знает, что из чего и куда следует, но что $o(h)+o(h)=o(h)$ -- тривиально (кстати, "о" -- именно маленькое)

Учтем.

[Brukvalub]

zuj в сообщении #160312 писал(а):

где собственно говоря $L_x$ и есть производная то бишь $F(x+h)$

Вот здесь и кроется Ваше непонимание. Производная - это линейное отображение, действующее на приращение аргумента, которое приближает приращение дифференцируемого отображения с точностью до о-малого от приращения аргумента, а вовсе не $F(x+h)$.

[zuj]

Я описался .... поправил.

Добавлено спустя 7 минут 21 секунду:

Кажись потихоньку начинаю понимать. То есть выше изложенное можно переписать так

$(F+G)(x_0+h)-(F+G)(x_0)=(F+G)'(x_0)h+o(h)$

Откуда, раскрывая скобки в левой части и замещая дифференциалом каждого из операторов в отдельности, собственно и получаем искомое. Рассуждения такие?

[Brukvalub]

zuj в сообщении #160308 писал(а):

Эта выкладка понятна, то есть рассуждения автора понятны. Непонятно следующее: откуда взялось $(F+G)(x_0+h)$ и как из последнего равенства следует доказательство первого пункта?

Перенесите $F(x_0)+G(x_0)$влево, тогда, наверное, станет яснее.

[zuj]

Благодарю за содействие!
С этим разобрался.

[Brukvalub]

zuj в сообщении #160317 писал(а):

Рассуждения такие?

Да, такие.

[zuj]

Кстати в другом источнике приводится такое доказательство.

$(F+G)'(x)=\textrm{grad}(F(x)+G(x))=\textrm{grad}F(x)+\textrm{grad}G(x)=F'(x)+G'(x)$

Такое доказательство тоже имеет право на жизнь?

[Brukvalub]

Знать бы, что здесь означает grad? (явно - не то, что этот символ означает в векторном анализе).

[zuj]

Brukvalub писал(а):

Знать бы, что здесь означает grad? (явно - не то, что этот символ означает в векторном анализе).

Автор определяет это как:

$F'(x)=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})=\textrm{grad}f(x)\in L(R^n,R)$

[Brukvalub]

zuj в сообщении #160342 писал(а):

Автор определяет это как:

$F'(x)=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})=\textrm{grad}f(x)\in L(R^n,R)$

Но Вы-то писали ранее, что изучаете производную Фреше, а она определяется и в случае отображений , например, Банаховых пространств, а не только в случае n-мерного арифметического пространства (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5 )

[zuj]

Точно, а я и не обратил внимания ... стыдно то как .

Благодарю.

[ewert]

а чем градиент не производная Фреше?