Someone писал(а):
Нет. Ещё раз: предлагаемая Вами теорема - другая теорема. С другими условиями. Мы же обсуждаем вполне определённую формальную теорию (ZF) и вполне определённую теорему этой теории в стандартной её формулировке.
Достаточна ли Ваша формулировка - решать тому, кто ей пользуется. Я в своей научной деятельности регулярно встречался с ситуациями, в которых Ваша формулировка недостаточна.
Я обсуждаю содержательную часть теоремы. И лишь использую ZF для выражения содержательного смысла теоремы.
Стало ясно в чём различие позиций сторон и в чём может быть совпадение.
Моя позиция исходит из некоей математической практики разрешения задач теории множеств, когда теорию множеств целесообразно развивать как “теорию констант”, “теорию конкретных предметов”, т.е. как теорию эффективно конструируемых предметов (в этом смысле, это “конкретно предъявленные предметы”). Ситуация с употреблением аксиомы выбора аналогична некой ситуации в логической теории, когда логическая аксиома может быть заменена на эквивалентное правило вывода, и после замены, сама логическая аксиома в каком-то смысле не нужна. В случае теории множеств (не обязательно ZF), если по всякому предъявлению множеств-элементов из множества M мы можем эффективно предъявить функции, соответствующие “по одной” каждому элементу множества M, то нет необходимости обращаться к более общему постулату, т.е. к самой аксиоме выбора как к формуле. Т.е. нам не требуется аксиома выбора, если мы располагаем неким эффективным “правилом вывода” таких функций.
Сформулированная мною теорема (возможно, она требует уточнений, т.к. сформулирована лишь в ZF и в рамках дискуссии) работает тогда, когда нет возможности опираться на аксиому выбора и строить при помощи её какие-либо другие множества. В то же время, у нас есть достаточное количество эффективно построенных множеств и трансфинитных алгоритмов, которые мы можем использовать для применения теоремы. Мало того, в рассуждениях для всех известных конкретных счётных множеств можно обойтись без формулировки как общей, так и частной аксиомы выбора, выделив требуемые функции некоторым алгоритмом.
Признаю, что без аксиомы выбора не обойтись в случае, когда теория строится так, что множества определены в общем виде, не как “конкретно предъявленные предметы”, и нам приходится неконструктивно выделять элементы множеств, для получения ясных результатов.
Форма теоремы не играет особой роли. Усиление условия означает лишь то, что я требую большей чёткости в формальном выражении в том, что считать за "каждый элемент множества М счётен". Такое уточнение вполне оправдано.
Обычная математическая практика строится так, что множества появляются в ней в некотором конкретном порядке как константы. Например, континуум действительных чисел строится как конкретное множество, число «пи» - как конкретное число и т.д. Математику можно строить так, что из одних конкретных предметов можно получать другие конкретные предметы эффективными средствами. Поэтому, “эффективный подход” оправдан некоей “базой индукции”. При этом, отношу к эффективным средствам и некоторые трансфинитные алгоритмы, и говорю о конструктивности не обязательно понимаемой в узком, например, гёделевом смысле.
Обобщения, на “базе индукции”, состоящей из “конкретных предметов” мы не можем строить слишком произвольно, т.е. не можем произвольно приписывать конкретным предметам не проверенные тем или иным способом аксиомы, даже если такие аксиомы не противоречат первоначальным аксиомам, которым удовлетворяет “база индукции”. Вернее, мы можем без противоречия приписать к первоначальным аксиомам новые аксиомы, но тогда, полученной системе аксиом будут удовлетворять другие предметы.
Преимуществом “эффективной стратегии” является то, что, в случае нахождения алгоритмов (понимаемых содержательно), они дают реальное знание и избавляют от приписывания конкретным множествам произвольных непроверенных обобщений. Есть основания считать, что аксиома выбора может нарушаться конкретно (такие примеры могу дать лишь в личной переписке). Эти примеры в чистом виде интуиционистские, т.е. могут быть предъявлены конкретно, но вряд ли выводимы дедуктивным путём – непосредственно очевидны. Нарушение наблюдается уже “среди счётных множеств”, и некоторым образом связано с потенциальностью обычных последовательностей, с “неодновременностью существования” элементов этих последовательностей.
счетно, то 
счетно, для доказательства которой аксиома выбора уже не нужна. Так или не так?
В ams.org Notices только с 1995 года, а нагуглить ничего не получилось 
