Почему из противоречивой теории выводится ложь?

[Verbery]

Некоторые определяют противоречивую теорию как теорию, из которой выводится ложь. Не могу разобраться почему эта формулировка эквивалентна стандартной, где говорится, что противоречивая теория это когда ей принадлежит $\lnot A$ и $A$

Я бы предположил, что это можно вывести по этой аксиоме: $\lnot A \to (A \to B)$ и на место $B$ поставить ложь: $\lnot A \to (A \to False)$. Но это некорректное предположение, так как на место $B$ можно поставить любую формулу, не только $False$

Подскажите почему эти формулировки эквивалентны друг другу?

[mihaild]

Verbery в сообщении #1582985 писал(а):

Но это некорректное предположение, так как на место $B$ можно поставить любую формулу, не только $False$

Почему некорректное? Нужно доказать, что выводится ложь, вот и вывели.
Вы по сути доказали, что в противоречивой (по второму определению) теории выводится вообще всё что угодно. Так и есть.

[Verbery]

mihaild в сообщении #1582987 писал(а):

Почему некорректное? Нужно доказать, что выводится ложь, вот и вывели.

Я имел ввиду, что слышал, что определяют прямо так "Проитворечивая логика - это логика из которой выводится ложь". Может я конечно неверно уловил мысль лектора, но почему в логике, в которой лежит $False$, не может лежать $\lnot A$ и $A$?

[mihaild]

Так логика или теория, и лежит или выводится? Это всё разные вещи.
Если в теории выводится ложь, то в ней выводится всё что угодно, в том числе $A$ и $\neg A$ для любого $A$.
Если в теории выводятся одновременно $A$ и $\neg A$ для некоторого $A$, то в ней выводится опять же что угодно, в том числе ложь.
Т.е. следующие три утверждения эквивалентны:
1. В теории выводится что угодно.
2. В теории выводится $\bot$.
3. В теории для некоторого $A$ выводится $A$ и выводится $\neg A$.
Можете в каких-то таких терминах сформулировать, что у Вас вызывает вопросы?

[Verbery]

Под теорией я подразумеваю полный набор фомрул, который породился правилами вывода из заданного набора аксиом

Вы написали "Если в теории выводится ложь, то в ней выводится всё что угодно". Почему? По определению что ли?

По поводу терминов. Логика - это набор аксиом, из которых вывелась теория? И в контексте термина "теория" лежит и выводится это разве не одно и то же?

[mihaild]

Verbery в сообщении #1583007 писал(а):

Почему? По определению что ли?

Потому что $\bot \rightarrow y$ - тавтология исчисления высказываний. В зависимости от деталей, либо прямо аксиома, либо $\bot$ понимается как $x \wedge \neg x$, и дальше по аксиомам $a \wedge b \rightarrow a$ и $a \rightarrow (\neg a \rightarrow b)$.

Verbery в сообщении #1583007 писал(а):

Под теорией я подразумеваю полный набор фомрул, который породился правилами вывода из заданного набора аксиом

Хорошо, тогда можно говорить "лежит". Я как-то привык что под теорией понимается просто набор аксиом.

[Verbery]

Да, похоже ложь действительно подразумевается под аксиомой $x \wedge \neg x$. Спасибо