Где ошибка? :(

[Ilnur]

Надо вычислить предел: $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{\sin^2 x}$.
Получаю
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}(e^{2x}+1-2e^{x})}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}(e^{x}-1)^2}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}\frac{(e^{x}-1)^2}{x^2}}{\frac{\sin^2 x}{x^2}}=1.$
А если решать по другому:
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}-1+e^{-x}-1}{\sin^2 x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{e^{x}-1}{x}x+\frac{e^{-x}-1}{-x}(-x)}{\frac{\sin^2 x}{x^2}x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+(-x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{0}{x^2}=0.$
Не могли ли объяснить, где именно ошибка во втором случае?

[Taras]

3 равенство.

[Ilnur]

Вроде все правильно же...

[ewert]

во втором варианте Вы учитываете только главные члены слагаемых в числителе и потому теряете информацию о поправках к ним. Да, в первом приближении разность между ними есть ноль, но насколько это ноль по сравнению со знаменателем -- при таком подходе остаётся неизвестным.

[GAA]

На студенческом языке правило звучит так: «только в произведении/частном, заменяя на эквивалентные функции, мы заведомо не допустим ошибку».

[На всякий случай. Это не дополнение или уточнение сообщения ewert. С ним я полностью согласен и, как раз оно [сообщение] к месту, — это, скорее, ответ на не прозвучавший вопрос.]

[Ilnur]

GAA писал(а):

На студенческом языке правило звучит так: «только в произведении/частном, заменяя на эквивалентные функции, мы заведомо не допустим ошибку».

[На всякий случай. Это не дополнение или уточнение сообщения ewert. С ним я полностью согласен и, как раз оно [сообщение] к месту, — это, скорее, ответ на не прозвучавший вопрос.]

т.е. если мы заменяем на эквивалентные функции в сумме/разности, то можем допустить ошибку?

[GAA]

Ilnur писал(а):

т.е. если мы заменяем на эквивалентные функции в сумме/разности, то можем допустить ошибку?

Да.

[daogiauvang]

$\lim (f +g)= \lim f +\lim g $ нельзя использовать.
И только используем $ \lim f.g =\lim f . \lim g$

[GAA]

daogiauvang писал(а):

$\lim (f +g)= \lim f +\lim g $ нельзя использовать.
И только используем $ \lim f.g =\lim f . \lim g$

Неправильно и к теме не относится.

По теме. Для того чтобы не допустить ошибку (вовремя заметить ошибку), иногда, рекомендуют записывать разложения с символом o-малое. В вашем примере в числителе осталось бы $o(x)$ и было бы видно, что неопределенность не раскрыта.

[Ilnur]

daogiauvang писал(а):

$\lim (f +g)= \lim f +\lim g $ нельзя использовать.
И только используем $ \lim f.g =\lim f . \lim g$

Вот именно не очень понятно почему нельзя использовать $\lim (f +g)= \lim f +\lim g $ ?

[Taras]

Уже интересно. А можна поподробнее?

Добавлено спустя 48 секунд:

Taras в сообщении #158015 писал(а):

Это к daogiauvang

[Ilnur]

GAA писал(а):

Для того чтобы не допустить ошибку (вовремя заметить ошибку), иногда, рекомендуют записывать разложения с символом o-малое. В вашем примере в числителе осталось бы $o(x)$ и было бы видно, что неопределенность не раскрыта.

А если $o(x)$ не проходят, а просто надо было вычислить предел?

[Taras]

Цитата:

А если $o(x)$ не проходят, а просто надо было вычислить предел?

Суть вопроса не ясна.
символы Ландау используются для вычисления пределов...

[GAA]

Ilnur писал(а):

А если $o(x)$ не проходят, а просто надо было вычислить предел?

Тогда либо сводить к произведению, либо взять больше членов в разложении (в данном примере разложить до $o(x^2)$). По второму, см. тему «Применение формулы Маклорена с остаточным членом в форме Пеано к раскрытию неопределенности».
Оговорился: первоночально был ряд, а не формула

Добавлено на следующий день

Где смотреть эту тему:
[1]. n.4 «Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов», §10 «Примеры приложений формул Маклорена», гл. 6 «Основные теоремы о дифференцируемых функциях» Ильин В.А. Садовничий В.А. Сендов Бл.Х. Математический анализ.Т.1. — М.: Изд-во МГУ, 1985.
[2]. n.3 «Использование формулы Маклорена для асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов», §16 «Примеры приложения формулы Маклорена», гл. 8 «Основные теоремы о непрерывных функциях» Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1 — М.: Наука, 1982.
[3]. d. «Сравнение асимптотического поведения функций», §2 «Предел функции», гл. III «Предел» Зорич В.А. Математический анализ. Т.1 — М.: Наука, 1981. [Это учебник для студентов математических специальностей.]

[Ilnur]

Taras писал(а):

Цитата:

А если $o(x)$ не проходят, а просто надо было вычислить предел?

Суть вопроса не ясна.
символы Ландау используются для вычисления пределов...

Как правильно сказать... это зависеть от специальности... не все студенты изучающие высшую математику проходят данный символ...