Соотношение матанализа и дифференциальной геометрии

[пианист]

(Оффтоп)

krum
Извиняюсь за тупость: а как предполагалось, испытуемый решал бы эту задачу?

(Оффтоп)

Евгений Машеров
Не расскажете, что за история с этой лошадью (и причем интеграл)?

[KoppeKToP]

(Оффтоп)

извиняюсь, тут был полный бред.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1574700 писал(а):

Не расскажете, что за история с этой лошадью (и причем интеграл)?

Байка о том, что к Репину пришли три художника-авангардиста, обличать его, как устарелого и заскорузлого, а он вместо возражений выдал им карандаши и попросил нарисовать лошадь. Взглянув на то, что у них вышло, он тоже не стал возражать - всё и так было ясно.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: на ПРР происходящее не очень похоже.

[пианист]

(Оффтоп)

KoppeKToP
Еще раз извиняюсь, не совсем понял
Вы имеете в виду такую логику: из того, что производная функции
$(\int\limits_x^\infty\cos(s^2)ds + \frac{\sin(x^2)}{2x})' = - \frac{\sin(x^2)}{2x^2}$
стремится к нулю при $x \to \infty$, делаем вывод, что и функция стремится к нулю, так?

(Оффтоп)

Евгений Машеров
:))
Я решил было, что речь про картину "Лошадь для сбора камней".
И никак не мог сопоставить.

[KoppeKToP]

пианист

(Оффтоп)

Прошу прощения, это бред, конечно же, сейчас перерешаю по-нормальному. Точнее, не совсем бред, но в данной задаче так просто не прокатит.

[krum]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1574700 писал(а):

а как предполагалось, испытуемый решал бы эту задачу?

например, так:

$$\int_x^\infty\cos(s^2)ds=\int\frac{d \sin(s^2)}{2s}=\frac{ \sin(s^2)}{2s}\Big|_x^\infty+\int_x^\infty\frac{\sin s^2 ds}{2s^2}$$

Если эту процедуру повторить, то получим, что

$$\int_x^\infty\frac{\sin s^2 ds}{2s^2}=O(1/x^3).$$

[пианист]

(Оффтоп)

krum
Видимо, все-таки еще какие-то манипуляции и/или рассуждения с оставшимся куском нужны..
Спасибо, понятно.
Но ведь человек не знает матана (ищет учебник), откуда же ему уметь обращаться с несобственными интегралами?

[KoppeKToP]

пианист

(Оффтоп)

Вначале рассмотрим функцию $\int^x_0 \cos s^2ds$. Заменим переменную: $s^2 = t, \sqrt t = s, ds = dt/\sqrt t$. Итого эта функция преобразуется преобразуется в $\int^{x^2}_0 \cos t/\sqrt t dt.$. Теперь надо оценить скорость сходимости нового интеграла, помня про верхний предел $x^2$, а пока рассматриваем интегралы $\int_0 ^p$ и $\int_ p ^\infty \cos t/\sqrt t dt$. Проинтегрируем по частям: $\int_ p ^\infty \cos t/\sqrt t dt = \sin t/\sqrt t |^\infty_p - 1/2\int_ p ^\infty \sin t/ t^{3/2} dt$. Для последнего интеграла опять придется оценивать: аналогично, $ \int_ p ^\infty \sin t/ t^{3/2} dt = \cos t / t^{3/2}|^\infty_p - 3/2\int_ p ^\infty \cos t/ t^{5/2} dt $. Последний интеграл с косинусом уже оценим руками, т.к. он убывает быстро: можно оценить сверху как интеграл от степенной $\int 1/t^{5/2}dt \sim t^{3/2}$.Таким образом видно, что функция $ \int_ p ^\infty \cos t/\sqrt t dt $ оценивается как $\sin p/\sqrt t$ плюс члены порядка не ниже $3/2$. Теперь вспомним, что $p=a^2$ на самом деле, а значит, имеем оценку $\sin x^2/x$. Только ощущение, что где-то двойку потерял (а может не потерял?) - да, $ds = dt/2\sqrt t$, разумеется., значит, оценка будет $\sin x^2/2x$.

[пианист]

(Оффтоп)

KoppeKToP
Знак еще

[KoppeKToP]

пианист

(Оффтоп)

Да, после первого инт по частям должно быть $\sin p/\sqrt p + 1/2\int_p^\infty$

.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1574704 писал(а):

Байка о том, что к Репину пришли три художника-авангардиста, обличать его, как устарелого и заскорузлого, а он вместо возражений выдал им карандаши и попросил нарисовать лошадь. Взглянув на то, что у них вышло, он тоже не стал возражать - всё и так было ясно.

А с лошадью не так всё и ясно. Вот лошадь Репина , а вот некая абстрактная лошадь . На вкус и цвет товарища нет.
Кому-то интересно решать олимпиадные задачи по анализу. А кому-то разбираться в головоломных абстракциях алгебры.

[Doctor Boom]

krum в сообщении #1574654 писал(а):

сколько будет

$$\varlimsup_{x\to\infty}\Big(x\int_x^\infty \cos(s^2)ds\Big)=?$$

А почему предел верхний? Он там вроде один. При очень большом икс имеем осциллирующий интеграл с амплитудой $\frac{1}{x}$, который при увеличении осцилляций будет на бесконечности порядка $\frac{1}{x^2}$ около нуля, а значит предел ноль, не?

[мат-ламер]

Doctor Boom в сообщении #1575447 писал(а):

А почему предел верхний?

Задачу не решал. Интуитивно кажется, что функция в скобках, это что-то типа синусоиды с амплитудой, стремящейся к одной второй и с всё увеличивающейся частотой.

[Doctor Boom]

мат-ламер в сообщении #1575450 писал(а):

Интуитивно кажется, что функция в скобках, это что-то типа синусоиды с амплитудой, стремящейся к одной второй и с всё увеличивающейся частотой.

Да, дошло, элементарно все

-- 29.12.2022, 11:32 --

Мне почему-то показалось, что усреднение осциллирующего интеграла не зависит от сдвига фазы