2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комплексный анализ, отобразить одну область на другую
Сообщение10.11.2008, 02:20 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Вопрос таков: найти функцию, осуществляющую отображение области D в область G: &D=\{z: |z-1| > 1, |z+1| > 1, Im z > 0\} -->G=\{w: |w| > 1, Re w > 0\}$. Сначала думал, что такой функцией является $f(z) = \frac{z^2-1}{z}i$, но это неверно. Нужно представить три границы первой области прямыми и уже их как-то отобразить, но как - ума не приложу. Может надо точку (0,0) в бесконечность устремить? То есть первое отображение будет $f_1 = \frac{1}{z}$, но что дальше сделать, не знаю. Какие еще преобразования нужно провести? Заранее спасибо за ответы.

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 10:17 
Функция $w={1\over z}$ переводит область в полуполосу. Она, в свою очередь, после сдвига, поворота и растяжения переводится экспонентой в полукруг. Ну сделать из полукруга круг -- уже совсем стандартно.

(Это то, что приходит в голову навскидку; наверное, можно и короче.)

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 07:19 
Пробовал сделать так , как предлагает ewert , не получается что-то . Думаю , что нужно использовать принцип симметрии Шварца .

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 07:58 
Аватара пользователя
ГАЗ-67 в сообщении #157513 писал(а):
Пробовал сделать так , как предлагает ewert , не получается что-то .

ewert в сообщении #157071 писал(а):
Функция $w={1\over z}$ переводит область в полуполосу.
Назовите эту полуполосу.

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 08:39 
Вещественная часть зет по модулю меньше одной второй, мнимая -- отрицательна.

(ну т.е. не зет, конечно, а дубль-ве)

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 09:03 
Аватара пользователя
Садитесь, ewert, и давайте "зачетку" - зачет я Вам поставлю. :D
(мой вопрос был адресован ГАЗ-67).

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 09:15 
ну вот ведь какое несчастье вышло

(ничего, будем считать, что это подсказка)

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 12:34 
Перезабыл всё . Подготовлюсь и сдам зачёт , благо раздобыл недавно книгу на 400стр. по конформным отображениям . :wink:

 
 
 
 
Сообщение13.11.2008, 20:59 
Аватара пользователя
Всем большое спасибо за помощь. Хотя была ошибка в условии, правильно будет &D=\{z: |z-1| > 1, |z+1| > 1, Im z < 0\} -->;G=\{w: |w| > 1, Re w > 0\}$. Если кому интересно, то сначала нужно отобразить функцией $w_1(z) = \frac{-2i}{z}$, затем $w_2(w_1) = e^{\frac{\pi}{2}w_1}$, то есть ответом будет $w(z) = e^{\frac{-\pi i}{z}}$.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group