Об одном доказательстве

[vicvolf]

Уважаемые форумчане! Справедливо ли утверждение?

Утверждение

Пусть существует предел $d^{*}(S)=\lim_{n \to \infty} \frac {S(n)}{n}$, тогда асимптотика арифметической функции $S$ при $n \to \infty$ имеет вид:
$S(n)=d^{*}(S)n+o(n)$, (1)

Доказательство
В случае, если $d^{*}(S)=\lim_{n \to \infty} \frac {S(n)}{n}=0$ , то:
$S(n)=o(n)$, (2)
что соответствует (1).

В случае, если $d^{*}(S)$ не равен 0, то получим:
$\lim_{n \to \infty} \frac {S(n)}{d^{*}(S)n}=1$. (3)

На основании (3), выполняется отношение эквивалентности (асимптотическое равенство), поэтому и в этом случае справедлива искомая асимптотика:
$S(n)=d^{*}(S)n(1+o(1))=d^{*}(S)n+o(n)$.

Примером выполнения утверждения для арифметической функции является количество натуральных чисел, принадлежащих подмножеству чисел свободных от квадратов – Q:
$S(Q,n)=d^{*}(S)n+o(n)$, (4)
где $d^{*}(S)=6/\pi^2$.

Другим примером арифметической функции с асимптотикой (1), является количество натуральных чисел, принадлежащих подмножеству простых чисел– P:
$S(P,n)=o(n)$, (5)
где $d^{*}(S)=0$.

[svv]

vicvolf в сообщении #1564605 писал(а):

В случае, если $d^{*}(S)$ не равен 0, то получим:
$\lim_{n \to \infty} \frac {S(n)}{d^{*}(S)n}=1$

Лучше не делить, а вычитать:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{S(n)-dn}{n}=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{S(n)}{n}\right)-d=0$
А это и значит, что $S(n)-dn=o(n)$.

[vicvolf]

svv в сообщении #1564608 писал(а):

Лучше не делить, а вычитать

Спасибо.