2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Вопрос возник из крайне любительских рассуждений на тему пентадекатлона. Но там спрашивать стесняюсь :oops:
Может ли число вида $A=4p^2-1$ иметь ровно 6 делителей? $p>3$ — простое.
Натурный эксперимент в PARI/GP в диапазоне до $10^{24}$ кроме числа $99=3^2\cdot 11=4\cdot 5^2 - 1$ ничего не обнаружил.
Рассуждения: $4p^2-1=(2p-1)\cdot(2p+1)$. Один из сомножителей обязательно делится на $3$. Так как делителей $6$, то возможны паттерны $A=3p^2$ и $A=9p$.
Есть также подозрение, что для нечётных $n=2k+1$ число $4n^2-1=(4k+1)(4k+3)$ не может иметь шесть делителей, либо $n=5m$.
Наверное, вопрос простой, но от жары.......

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9114
Цюрих
gris в сообщении #1563550 писал(а):
Один из сомножителей обязательно делится на $3$
Ну так значит уже есть три разных сомножителя: $3$, частное от деление соответствующей скобки на $3$ и вторая скобка, и все сомножители различны, если только ни одна из скобок не равна 9 и скобки не отличаются в 3 раза (ни то ни другое невозможно при больших $p$. И эти сомножители уже дают нам минимум 8 делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
mihaild, спасибо! Теперь прояснилось, что без $32p$ нет даже десятки:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group