2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Вопрос возник из крайне любительских рассуждений на тему пентадекатлона. Но там спрашивать стесняюсь :oops:
Может ли число вида $A=4p^2-1$ иметь ровно 6 делителей? $p>3$ — простое.
Натурный эксперимент в PARI/GP в диапазоне до $10^{24}$ кроме числа $99=3^2\cdot 11=4\cdot 5^2 - 1$ ничего не обнаружил.
Рассуждения: $4p^2-1=(2p-1)\cdot(2p+1)$. Один из сомножителей обязательно делится на $3$. Так как делителей $6$, то возможны паттерны $A=3p^2$ и $A=9p$.
Есть также подозрение, что для нечётных $n=2k+1$ число $4n^2-1=(4k+1)(4k+3)$ не может иметь шесть делителей, либо $n=5m$.
Наверное, вопрос простой, но от жары.......

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9145
Цюрих
gris в сообщении #1563550 писал(а):
Один из сомножителей обязательно делится на $3$
Ну так значит уже есть три разных сомножителя: $3$, частное от деление соответствующей скобки на $3$ и вторая скобка, и все сомножители различны, если только ни одна из скобок не равна 9 и скобки не отличаются в 3 раза (ни то ни другое невозможно при больших $p$. И эти сомножители уже дают нам минимум 8 делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество делителей простенького паттерна.
Сообщение26.08.2022, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
mihaild, спасибо! Теперь прояснилось, что без $32p$ нет даже десятки:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group