2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение31.07.2022, 20:28 


20/07/22
102
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рассмотрим задачу для $n=3$ целиком
$2x^2+1=y^3$
Нетрудно показать, что $x=3x_13x_2$ и $y-1=6x_1^2$, причём $x_2\not\vdots 3$
Сделаем замену $y=y_1+1$, тогда получаем следующее:
$6x_1^23x_2^2=y_1^3+3y_1^2+3y_1$
поскольку $y_1=6x_1^2$, то
$3x_2^2=y_1^2+3y_1+3$
или
$3x_2^2=36x_1^4+18x_1^2+3$
$x_2^2=12x_1^4+6x_1^2+1$
полагаем
$x_2=3x_1^2+a$
получаем
$3x_1^4+(6-6a)x_1^2+1-a^2=0$
Откуда следует, что $3x_1^4\vdots (1-a)$
Если $x_1^4$ имеет общий множитель с $(1-a)$, то на этот множитель делится и $x_1^2$, а значит и $(a+1)$.
Такое возможно, если множитель по модулю равен 2 или 1.
Что касается остальных делителей $1-a$, то они являются и делителями числа 3.
Получились варианты:
1) $1-a=1$
2) $1-a=-1$
3) $1-a=3$
4) $1-a=-3$
5) $1-a=6$
6) $1-a=-6$
7)$1-a=2$
8)$1-a=-2$
1) $a=0$
$x_1=x_2$, что по ходу решения возможно только если
$x_1=x_2=1$
проверяем
$3x_1^4+6x_1^2+1=0$
неверно.
2)$a=2$
$x_1^4-2x_1^2-1=0$
решения в целых числах не имеет
3)$a=-2$
$x_1^4+6x_1^2-1=0$
решения в целых числах нет
4)$a=4$
$x_1^4-6x_1^2-5=0$
решения в целых числах нет
5)$a=-5$
$x_1^4+12x_1^2-8=0$
В целых числах нет решения
6)$a=7$
$x_1^4-12x_1^2-16=0$
В целых числах нет решения
случаи 7,8) также, не дадут решения.
Вывод: уравнение $2x^2+1=y^3$ решения не имеет, кроме (0,1)
Упустил случаи:
$1-a=-2^k$ и $1-a=-3\cdot 2^k$
т.к. $a>1$
Подстановка этих значений показывает, что решения нет:
Например $1-a=-2^k$ даёт уравнение
$3x_1^4-6\cdot 2^kx_1^2-2^k(2+2^k)=0$
последнее слагаемое должно делится на 3. Поэтому $(k-1)$ число нечётное.
Подсчитаем дискриминант:
$9\cdot D=9\cdot 2^{2k}+3\cdot 2^{k+1}(1+2^{k-1})$
или
$9\cdot D=2^{k+1}\cdot (9\cdot 2^{k-1}+3\cdot (1+2^{k-1}))$
У нас дискриминант должен быть полным квадратом, поэтому $(k\pm 1)$ должно быть чётным. Получили противоречие.
Случай $1-a=-3\cdot 2^k$ приводит к уравнению:

$x_1^4-2\cdot 2^kx_1^2-2^k(2+3\cdot 2^k)=0$
Подсчитаем дискриминант:
$D=2^{2k}+2^k(2+3\cdot 2^k)$
или
$D=2^{k+1}(2^{k+1}+1)$
дискриминант представляет собой полный квадрат, значит $(k+1)$ число чётное.
Получаем задачу:
$2^{2k_1}+1=b^2$
поскольку числа $(b-1)$ и $(b+1)$ не имеют общих множителей кроме числа 2, то $(b-1)=2$, либо $(b+1)=2$
Пусть $(b+1)=2$ тогда решения нет
Пусть $(b-1)=2$ тогда $b=3$

$2^{2k_1}=8$

$k_1=3$ откуда $k=2$
что противоречит нечётности для $k$
Следовательно и здесь решения нет.
Все случаи для уравнения $2x^2+1=y^3$ рассмотрены, решения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение06.08.2022, 21:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Начало текста хорошее. Тем не менее, напишу некоторые подробности. Будем доказывать, что решений с $y>1$ нет. Имеем $2x^2=(y-1)(y^2+y+1)$. Возможны два случая: 1) $y \not \equiv 1 \pmod{3}$ и 2) $y \equiv 1 \pmod{3}$. В случае 1) $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=1$ и тогда $y-1=2x_1^2$ (поскольку $y$ нечетно) и $y^2+y+1=x_2^2$. Но последнее равенство в натуральных числах невозможно. Таким образом, имеем случай 2). Здесь $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=3$ и $x$ делится на $3$. Переписав уравнение в виде $2(x/3)^2=(y-1)/3 \cdot (y^2+y+1)/3$, заключаем, что $(y-1)/3=2x_1^2$ и $(y^2+y+1)/3=x_2^2$. Исключая $y$, получим уравнение $$12x_1^4+6x_1^2+1=x_2^2.$$Далее делается замена $x_2=3x_1^2+a$ и получается уравнение
Mitkin в сообщении #1561576 писал(а):
$3x_1^4+(6-6a)x_1^2+1-a^2=0$
после чего делается верное замечание о делимости $3x_1^4$ на $1-a$. Но вот следующее утверждение
Mitkin в сообщении #1561576 писал(а):
Если $x_1^4$ имеет общий множитель с $(1-a)$, то на этот множитель делится и $x_1^2$, а значит и $(a+1)$.
мне совершенно не понятно: на каком основании это можно утверждать? Доказательство отсутствует. Без разъяснений этого места читать дальнейший текст не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение07.08.2022, 21:18 
Заблокирован


16/04/18

1129
Это вроде эллиптическая кривая с перестановкой букв. Там разве не всё полностью известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение07.08.2022, 21:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1562064 писал(а):
всё полностью известно
Да с чего бы. Но в данном случае речь идет об элементарном методе отыскания всех целых точек. Вот, скажем, для уравнения $2x^2+1=y^4$ такой способ предложить легко. Как я понял, хочется чего-то подобного для уравнения $2x^2+1=y^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 20:12 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1561968 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561576 писал(а):
Если $x_1^4$ имеет общий множитель с $(1-a)$, то на этот множитель делится и $x_1^2$, а значит и $(a+1)$.

мне совершенно не понятно: на каком основании это можно утверждать? Доказательство отсутствует. Без разъяснений этого места читать дальнейший текст не имеет смысла.

Положим $x_1=x_3\cdot x_4$
$3x_3^4\cdot x_4^4+6(1-a)x_3^2\cdot x_4^2+(1-a)(1+a)=0$
На $(1-a)$ делится $3x_3^4$, причём $x_3$ содержит только делители $(1-a)$ и $x_3$ и $x_4$ общих делителей не имеют.
После сокращения получаем уравнение:
$k\cdot x_4^4+6x_3^2\cdot x_4^2+(1+a)=0$
где $k$ содержит делители $(1-a)$ (те, которые остались). Эти множители содержит и $x_3$ (некоторые по крайней мере).
Я упустил случаи, когда $k=1$. Т.е. надо рассмотреть дополнительно случаи
$1-a=x_3^4$ и $1-a=3x_3^4$
(Степени двойки я рассмотрел зря)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 20:27 


20/03/14
12041
Mitkin
Опять в Карантин или все же сейчас нормально наберете?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 20:29 


20/07/22
102
Lia в сообщении #1562157 писал(а):
Mitkin
Опять в Карантин или все же сейчас нормально наберете?

интернет барахлит

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 20:32 


20/03/14
12041
Интернет тут при чем? Не надо кириллицу в формулы набирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 21:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1562155 писал(а):
Положим $x_1=x_3\cdot x_4$
$3x_3^4\cdot x_4^4+6(1-a)x_3^2\cdot x_4^2+(1-a)(1+a)=0$
На $(1-a)$ делится $3x_3^4$, причём $x_3$ содержит только делители $(1-a)$ и $x_3$ и $x_4$ общих делителей не имеют.
После сокращения получаем уравнение:
$k\cdot x_4^4+6x_3^2\cdot x_4^2+(1+a)=0$
где $k$ содержит делители $(1-a)$ (те, которые остались). Эти множители содержит и $x_3$ (некоторые по крайней мере).
Очень мутный текст. Кто такие $x_3$ и $x_4$, эти новые персонажи? Дайте им формальное определение. Могу я, например, считать, что $x_4=1$?

Все это мне напоминает тексты ферматистов.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 22:16 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1562163 писал(а):
Mitkin в сообщении #1562155 писал(а):
Положим $x_1=x_3\cdot x_4$
$3x_3^4\cdot x_4^4+6(1-a)x_3^2\cdot x_4^2+(1-a)(1+a)=0$
На $(1-a)$ делится $3x_3^4$, причём $x_3$ содержит только делители $(1-a)$ и $x_3$ и $x_4$ общих делителей не имеют.
После сокращения получаем уравнение:
$k\cdot x_4^4+6x_3^2\cdot x_4^2+(1+a)=0$
где $k$ содержит делители $(1-a)$ (те, которые остались). Эти множители содержит и $x_3$ (некоторые по крайней мере).
Очень мутный текст. Кто такие $x_3$ и $x_4$, эти новые персонажи? Дайте им формальное определение. Могу я, например, считать, что $x_4=1$?

Все это мне напоминает тексты ферматистов.

У нас число $1-a$ состоит из произведения простых множителей определённой кратности. Все эти сомножители должны входить в $x_1^4$, т.е. в $x_3^4x_4^4$. $x_3$ включает эти сомножители и только их, а $x_4$ не включает.
Заранее не известно какую кратность имеет тот или простой сомножитель $(1-a)$ в $x_3$. Но кратность любого из простого сомножителя в $(1-a)$ не превосходит кратности его же в $x_3^4$.
Отсюда и появляется число $k$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение08.08.2022, 23:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1562177 писал(а):
Все эти сомножители должны входить в $x_1^4$
Вообще-то, в $3x_1^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение09.08.2022, 11:50 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1562185 писал(а):
Mitkin в сообщении #1562177 писал(а):
Все эти сомножители должны входить в $x_1^4$
Вообще-то, в $3x_1^4$.

Да, конечно. Поэтому и рассматриваю всегда два случая с тройкой и без неё.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение09.08.2022, 12:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1562249 писал(а):
Поэтому и рассматриваю всегда два случая с тройкой и без неё.
Где рассматриваете? Не вижу. И еще один момент. Очевидно, случай $x_4=1$ не исключен. Но в этом случае имеем $x_1=x_3$ и никакого продвижения нет (букву $x_1$ заменили на букву $x_3$).

По-прежнему мне непонятна идея решения уравнения $$3x_1^4+(6-6a)x_1^2+1-a^2=0.$$Размножение неизвестных пока ни к чему содержательному не привело.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение09.08.2022, 14:45 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1562259 писал(а):
Mitkin в сообщении #1562249 писал(а):
Поэтому и рассматриваю всегда два случая с тройкой и без неё.
Где рассматриваете? Не вижу. И еще один момент. Очевидно, случай $x_4=1$ не исключен. Но в этом случае имеем $x_1=x_3$ и никакого продвижения нет (букву $x_1$ заменили на букву $x_3$).

По-прежнему мне непонятна идея решения уравнения $$3x_1^4+(6-6a)x_1^2+1-a^2=0.$$Размножение неизвестных пока ни к чему содержательному не привело.

Если $x_1=x_3$, то это означает, что $x_1$ состоит только из делителей числа $(1-a)$. Т.е. после сокращения уравнения на $(1-a)$ у нас может получиться первым членом число либо $3k$ либо $k$, где число $k$ состоит только из делителей числа $(1-a)$
Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение09.08.2022, 18:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1562266 писал(а):
Согласны?
Пожалуй, я соглашусь с тем, что можно свести дело к решению нескольких уравнений Туэ 4-й степени. Но решение таких уравнений в общем случае не элементарно.

Вот уравнение того типа, что мы обсуждаем, но с коэффициентами попроще (здесь двойки-тройки не будут мешать):
$$
x^4=y(x^2+y+1).
$$
Как Вы его собираетесь решать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group