ряд из обратных простых чисел

[Luizo4]

Нужно доказать раcxодимость ряда обратных простых чисел используя оценку Чебышева.

Нужно доказать рашодимость ряда обратных простых чисел используя оценку Чебышева.
Мне сказал профессор, что это должно следовать очен просто. (Я знаю другие доказательства, где не так всё просто следует.)

Оценка Чебышева:

$$ 0,89 \frac{n}{ln(n)} < \pi(n) < 1,11 \frac{n}{ln(n)}$$

здесь

$$\pi(n)$$

это число простых чисел меньше или равно

$$n$$

Что доказать:

$$\sum\limits_{p prime}^{\infty}\frac{1}{p}=\infty$$

[nnosipov]

Luizo4 в сообщении #1561757 писал(а):

Мне сказал профессор, что это должно следовать очен просто.

Согласен с профессором. Но предварительно из оценок Чебышева выведите оценку для $n$-го простого числа.

[Luizo4]

$\frac{n * ln(p_n)}{1,11}<p_n<\frac{n *ln(p_n)}{0,89}$

[nnosipov]

Luizo4
Ну, надо еще поработать. Подставьте в оценки Чебышева $x=p_n$.

[Luizo4]

а ну так я это уже давно сделала. то, что я напечатала следует из
$0.89\frac{p_n}{ln(p_n)}<\pi (p_n)=n<1.11\frac{p_n}{ln(p_n)}$
$\Longleftrightarrow \frac{n}{1,11}<\frac{p_n}{ln(p_n)}<\frac{n}{0,89}$ :)


у меня предчувствие что можно вывести

$anln(n)<p_n<bnln(n)$

[nnosipov]

Luizo4 в сообщении #1561767 писал(а):

у меня предчувствие

Правильное предчувствие.

[Luizo4]

я помню, что это следует, из
$0,89\frac{p_n}{ln(p_n)}<n<1,11\frac{p_n}{ln(p_n)}$
и если взять логарифм этого
$ln(p_n) - ln(ln(p_n)) + ln(0,89) < ln(n)< ln(p_n) - ln(ln(p_n)) + ln(1,11)$

но как теперь из этого получить

$anln(n)<p_n<bnln(n)$

[Luizo4]

Luizo4 в сообщении #1561763 писал(а):

$\frac{n * ln(p_n)}{1,11}<p_n<\frac{n *ln(p_n)}{0,89}$

а всё. тут слева можно просто заменить $ln(p_n)<ln(n)$

[nnosipov]

Luizo4 в сообщении #1561817 писал(а):

слева можно просто заменить $ln(p_n)<ln(n)$

Видимо, Вы хотели написать $\ln{p_n}>\ln{n}$. Это дает оценку снизу для $p_n$, а для доказательства расходимости ряда из $p_n^{-1}$ нужна оценка для $p_n$ сверху.

[Luizo4]

ну да я вот именно, что для верхней, нужной границы нужно какой-то другой способ применить. но думаю, что по какой-то причине справа тоже можно $\ln(p_n)$ заменить $\ln(n)$. потому что так оценка довольно грубая…
и при больших $n$ разница между $\ln(p_n)$ и $\ln(n)$ не должна играть большую роль…
но как это формально вывести…

-- 05.08.2022, 15:10 --

ещё известна такая оценка $p_n<n(\ln(n)+\ln(\ln(n)))$