Проблема с изучением линейной алгебры

[EminentVictorians]

Slav-27, а в принципе существует способ построения линейной алгебры так, чтобы она полностью поместилась в контекст общей алгебры? (ну или может в контекст чего-нибудь еще помимо общей алгебры, главное в как можно более общий контекст). Не с целью усложнить, а наоборот - с целью упростить. Субъективно, мне линейная алгебра кажется месивом из кучи близкородственных понятий, но хочется выйти в наиболее широкий контекст и классифицировать все эти объекты. Посмотреть на все это сверху так сказать.

Я сейчас не говорю про банальный переход от векторных пространств к модулям. Я про полную перестройку линейной алгебры, чтобы там, например, было больше от теории групп (действия, эквивариантные отображения, диаграммы) или, не знаю, от коммутативной алгебры.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1549312 писал(а):

Я про полную перестройку линейной алгебры

EminentVictorians в сообщении #1549312 писал(а):

Не с целью усложнить, а наоборот - с целью упростить.

Лично я никогда такого не видел. Единственное встречавшееся мне малоизвестное упрощение -- это что можно обойтись без определителей.

-- 22.02.2022, 16:40 --

Ещё может быть, что вам понравятся симметричные моноидальные категории, типа вот: https://math.unice.fr/~toledo/talks.pdf. Это, да, обобщение полилинейной алгебры. Обычную линейную алгебру оно не упрощает, а суперсимметричную -- уже да.

[Red_Herring]

Следует помнить, что линейная алгебра (включая вещественные и комплексные пространства, и каноническую форму матриц) очень нужна для анализа, ОДУ, УЧП и т.д. и это неизмеримо важнее чем желание ТС перестроить линейную алгебру в контексте общей алгебры. Т.е. сначала линейную алгебру следует прочесть так, чтобы она ныла наиболее полезна для перечисленных мною областей и лишь потом, если очень неймется прочесть линейную алгебру в контексте общей--внутри курса общей алгебры и внутри отведенных дле общей алгебры часов.

[Евгений Машеров]

В общем, некая битва философического и прагматического подходов. С точки зрения философичности - нужна логическая стройность и ясность, а конкретные детали "сослать в приложения", как Гегель природу, по словам Фейербаха. С точки зрения прагматики - есть задачи, и их надо решать. Учитывая конкретику, поскольку Общие Философские Принципы красивы, но либо не работают, либо врут (это Гегель, в должности ректора Берлинского университета, уволил Ома, поскольку философу было ясно, что Высшая Форма Движения, электричество, не может подчиняться законам, подобным законам низшей формы, течения воды?).
Адмирал Крылов (более отличившийся в линейной алгебре, чем во флотовождении) возмущался философом Сковородой, восклицавшим: "Слава Создателю, сделавшим ненужное сложным, а сложное ненужным!". Адмиралу линейная алгебра нужны была для расчёта остойчивости кораблей и гироскопических сил, действующих на турбины при волнении, и за красивые автоморфизмы вместо расчёта собственных значений он мичмана, пожалуй, на гауптвахту отправил бы.
Если нужно решать прикладные задачи - надо начинать со "скучной и частной" линейки, а потом, дойдя до абстракций, обозреть "линейку" с высоты и подивиться, как оно всё устроено. Но чтобы в полной мере восхититься - надо сперва разобраться с частным. А если идти "сверху вниз", то не только не будет возможности дойти до решения задач, но даже окажется непонятным, отчего красивые концепции иллюстрируются этим корявым...

[EminentVictorians]

Оказывается, группу можно определить как моноид, снабженный функцией, для которой коммутативна некоторая диаграмма. Если взять для этой же конструкции не просто множество, а топологическое пространство и в качестве стрелок непрерывные отображения, то те же самые коммутативные диаграммы определят топологическую группу. А если взять дифференцируемые многообразия с гладкими отображениями, то получится группа Ли. Это все одна и та же конструкция, просто наполнение разное!

Далее про моноиды в разных системах. Если взять $(Ab, \otimes, Z)$, где Ab - категория абелевых групп, $\otimes$ - тензорное произведение абелевых групп, Z - аддитивная группа целых чисел, выступающая в качестве единицы, то моноид в этой системе - это кольцо (с единицей)! Вот оно - то определение, которое мне было нужно. Еще я как-то спрашивал, в чем особая роль нейтральных элементов в алгебраических конструкциях. Там дальше идет следующее предложение: Морфизм абелевой группы $\eta: Z \to M$ полностью определяется выбором одного элемента в группе $M$, а именно образа $u$ образующего 1 в группе Z. Т.е. я как понял, на нейтральные элементы надо смотреть с категорной точки зрения (как на некоторые выделенные стрелки или что-то типа того; пока не разобрался).

Далее, оказывается можно определить действие моноида на множестве. И частным случаем этой конструкции будут группы, действующие как группы преобразований, топологические моноиды, непрерывно действующие на топологическом пространстве и наверняка много другого. А еще я как-то тупил над эквивариантностью действий. Вот не дай бог это окажется просто каким нибудь функтором, я тогда совсем в учебниках алгебры разочаруюсь.

И самая вишенка на торте. Про линейные отображения. Я давно понял, что смысл линейных отображений только в том, что они гомоморфизмы. Но было непонятно, почему гомоморфизмы так важны. Цитирую из книги Кон Универсальная алгебра (3. Порождение многообразий):

Цитата:

Пользуясь определением многообразия не легко ответить на вопрос, будет ли данный класс алгебр многообразием или нет. Дадим теперь необходимые и достаточные условия (принадлежащие Биркгофу [35]), при которых класс алгебр является многообразием.
Теорема 3.1 Полная подкатегория $K$ категории ($\Omega$) всех $\Omega$-алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда выполняются следующие четыре условия:
(i) $K$ содержит алгебру с непустым носителем
(ii) $K$ наследственна
(iii) $K$ замкнута относительно гомоморфных образов
(iiii) $K$ замкнута относительно прямых произведений

Заметим, что всякая категория, удовлетворяющая (iii), абстрактна.

Вот это "Заметим, что..." как будто для меня написано Вот определение абстрактной категории: Если вместе с каждой алгеброй $A$ категория $K$ содержит все алгебры, ей изоморфные, и вместе с любыми двумя изоморфными алгебрами $A$, $A'$ содержит все изоморфизмы между $A$ и $A'$, то $K$ называется абстрактной.

Невооруженным взглядом видно, что абстрактные категории замечательны! И все, что для этого надо, как я понял - это лишь замкнутость относительно гомоморфных образов!


В конце я хочу добавить пару слов от себя. По всей видимости, моей главной ошибкой было то, что я до недавнего времени слишком серьезно относился к линейной алгебре (да и к общей тоже). Логическое место общей алгебры - после универсальной алгебры и теории категорий. А логическое место линейной алгебры - после всех этих трех. Все проблемы из-за того, что линейная алгебра в нашей традиции изучается слишком рано. Хорошо, пусть она нужна прикладникам и для диф.уравнений, что ее надо давать на первом курсе, что это вынужденная мера и т.д. Пусть так. Но кто запрещает написать полноценный учебник линейной алгебры со всеми пререквизитами из универсальной алгебры и теории категорий. Ну или прямо сказать в предисловии, что такие-то и такие-то книги и разделы необходимо знать для изучения этого учебника. Я не предлагаю учить по этому учебнику инженеров или даже математиков, но написать то его кто мешает. Винберга я скорее всего таки осилю, просто потому что меня подотпустило: я понял, что его построение курса - это не истина в последней инстанции, а просто следствие той парадигмы в образовании, принятой в данное время. Действительная логическая последовательность всех этих вещей абсолютно другая.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Хорошо, пусть она нужна прикладникам и для диф.уравнений, что ее надо давать на первом курсе, что это вынужденная мера и т.д. Пусть так. Но кто запрещает написать полноценный учебник линейной алгебры со всеми пререквизитами из универсальной алгебры и теории категорий

Не прикладникам а математикам. Линейная алгебра нужна всем математикам. Без нее нет математического образования. Универсальная алгебра и теория категорий не нужны практически никому.

А разве вам кто нибудь запрещает писать такой учебник? Пишите, издавайте. Ах, не умеете? Умеете только объяснять всем как надо изучать математику?

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Оказывается, группу можно определить как моноид, снабженный функцией, для которой коммутативна некоторая диаграмма

Неужели такая диаграмма? А чем это проще, чем написать $v\cdot v^{-1} = Id$?

[EminentVictorians]

xagiwo в сообщении #1549457 писал(а):

Неужели такая диаграмма?

Нет, там другие. Посмотрите во введении в книге Маклейна, я все оттуда взял. Рисовать диаграммы в латехе я не умею.

xagiwo в сообщении #1549457 писал(а):

А чем это проще, чем написать $v\cdot v^{-1} = Id$?

Я не знаю, как это объяснить. Это концептуальность. Если что-то имеет категорную интерпретацию, значит самая правильная интерпретация этого "чего-то" - категорная. Просто я в восторге от теории категорий (точнее от первых 10 страниц, которые я там понял ) так что отнеситесь с пониманием)))

[Евгений Машеров]

А что же наступит на одиннадцатой?!

[xagiwo]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1549459 писал(а):

А что же наступит на одиннадцатой?!

Был в восторге от $p$-адических чисел, пока не прочёл книгу Катока о них. Расстроился, когда понял, что это всего лишь обычный матан, но с $p$-адическими числами

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Мне отчего-то рассказ Ильфа и Петрова вспомнился...

Цитата:

— Кто была Екатерина Вторая?
— Продукт.
— Как продукт?
— Я сейчас вспомню. Мы прорабатывали… Ага! Продукт эпохи нарастающего влияния торгового капита…
— Ты скажи, кем она была? Должность какую занимала?
— Этого мы не прорабатывали.

https://ru.wikisource.org/wiki/%D0%A0%D ... %BE%D0%B2)

Причём с определённой точки зрения говорить о ней, как о "Продукте эпохи нарастающего влияния торгового капитала" вполне осмысленно и полезно, но сперва надо узнать, что она была императрица всероссийская, воевала с турками и вводила просвещение, и только после усвоения россыпи этих мелких частных фактов можно приступать к историософскому обобщению.

Вот отчего мне это вспомнилось при требовании ТС "меньше всяких частностей"?

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Оказывается, группу можно определить как моноид, снабженный функцией, для которой коммутативна некоторая диаграмма. Если взять для этой же конструкции не просто множество, а

Ну да, называется "категорификация", бывает полезно.

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

А еще я как-то тупил над эквивариантностью действий. Вот не дай бог это окажется просто каким нибудь функтором, я тогда совсем в учебниках алгебры разочаруюсь.

Эквивариантные отображения множеств -- это морфизмы множеств с действием данной группы. (А категорию множеств с действием данной группы можно при желании определить как категорию модулей над данным моноидовым объектом в категории множеств. Если заменить "в категории множеств" на "в категории топологических пространств", то получится определение категории топологических пространств с непрерывным действием данной топологической группы, а если заменить на "в катеории абелевых групп", то получится определение модуля над кольцом.)

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Цитирую из книги Кон Универсальная алгебра (3. Порождение многообразий):

Выглядит уныло. Вообще, насколько я знаю, от универсальной алгебры пользы не было, в отличие от теории категорий.

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Логическое место общей алгебры - после универсальной алгебры и теории категорий. А логическое место линейной алгебры - после всех этих трех. Все проблемы из-за того, что линейная алгебра в нашей традиции изучается слишком рано.

По-моему, вы на радостях принимаете личный опыт за универсальное. "Логическое место сложения натуральных чисел -- после универсальной алгебры и теории полугрупп, потому что это это полугрупповая операция"; "логическое место линейной алгебры -- после теории операд, потому что векторное пространство -- это агебра над какой-то там операдой"... и до бесконечности.

EminentVictorians в сообщении #1549452 писал(а):

Но кто запрещает написать полноценный учебник линейной алгебры со всеми пререквизитами из универсальной алгебры и теории категорий. Ну или прямо сказать в предисловии, что такие-то и такие-то книги и разделы необходимо знать для изучения этого учебника.

Нечто подобное делал Н. Бурбаки -- многотомный трактат "Элементы математики", получилось больше хорошего, чем плохого. Но вообще обе ваши идеи мне не нравятся: свалить всё в одно место -- не Unix-way, а сделать пререквизитом что-то постороннее -- сродни преступлению: не надо усложнять искусственно.

-- 23.02.2022, 21:50 --

(xagiwo)

xagiwo в сообщении #1549461 писал(а):

пока не прочёл книгу Катока

Не Катока, а Каток, её зовут Светлана Борисовна.

xagiwo в сообщении #1549461 писал(а):

всего лишь обычный матан, но с $p$-адическими числами

Не обычный, а гораздо лучше! Никаких условно сходящихся рядов.

[xagiwo]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1549479 писал(а):

Не Катока, а Каток, её зовут Светлана Борисовна.

Мои извинения Светлане Борисовне!